Уровень Ферми
Фе́рми-эне́ргия — значение энергии, ниже которой при температуре абсолютного нуля Т=0 К, все энергетические состояния системы частиц, подчиняющихся Ферми — Дирака статистике, заняты, а выше — свободны. Уровень Ферми — некоторый условный уровень, соответствующий энергии Ферми системы фермионов; в частности электронов твердого тела, играет роль химического потенциала для незаряженных частиц. Статистический смысл уровня Ферми — при любой температуре его заселенность равна 1/2.
Положение уровня Ферми является одной из основных характеристик состояния электронов (электронного газа) в твердом теле. В квантовой теории вероятность заполнения энергетических состояний электронами, определяется функцией Ферми F(E):
Е — энергия уровня, вероятность заполнения которого определяется;
EF — энергия характеристического уровня, относительно которого кривая вероятности симметрична;
Т — абсолютная температура;
При абсолютном нуле из вида функции следует, что
То есть все состояния, лежащие ниже уровня Ферми, полностью заняты электронами, а выше него свободны.
Энергия Ферми EF — максимальное значение энергии, которое может иметь электрон при температуре абсолютного нуля. Энергия Ферми совпадает со значениями химического потенциала газа фермионов при Т =0 К, то есть уровень Ферми для электронов играет роль уровня химического потенциала для незаряженных частиц. Соответствующий ей потенциал jF = EF/е называют электрохимическим потенциалом.
Таким образом, уровнем Ферми или энергией Ферми в металлах является энергия, которую может иметь электрон при температуре абсолютного нуля. При нагревании металла происходит возбуждение некоторых электронов, находящихся вблизи уровня Ферми (за счет тепловой энергии, величина которой порядка kT). Но при любой температуре для уровня с энергией, соответствующей уровню Ферми, вероятность заполнения равна 1/2. Все уровни, расположенные ниже уровня Ферми, с вероятностью больше 1/2 заполнены электронами, а все уровни, лежащие выше уровня Ферми, с вероятностью больше1/2 свободны от электронов.
Для электронного газа в металлах при Т = 0 величина энергии Ферми однозначно определяется концентрацией электронов и ее можно выразить через число n частиц электронного газа в единице объема: зависимость энергии Ферми от концентрации электронов нелинейная.
С ростом температуры (а также уменьшением концентрации электронов) уровень Ферми смещается по шкале энергий влево, но его заселенность остается равной 1/2. В реальных условиях изменение EFсувеличением температуры мало. Например, для Ag, имеющего при Т=0 значение EF равное 5,5 эВ, изменение энергии Ферми при температуре плавления составляет всего около 0,03% от исходного значения.
В полупроводниках при очень низких температурах уровень Ферми лежит посередине между дном зоны проводимости и потолком валентной зоны. (Для донорных полупроводников — полупроводников n-типа проводимости — уровень Ферми лежит посередине между дном зоны проводимости и донорным уровнем). С повышением температуры вероятность заполнения донорных состояний уменьшается, и уровень Ферми перемещается вниз. При высоких температурах полупроводник по свойствам близок к собственному, и уровень Ферми устремляется к середине запрещенной зоны. Аналогичные закономерности проявляются и полупроводниках р-типа проводимости.
Существование энергии Ферми является следствием Принципа Паули. Величина энергии Ферми существенно зависит от свойств системы. Понятие об энергии Ферми используется в физике твердого тела, в ядерной физике, в астрофизике и т. д.
Вероятность нахождения электрона на том или ином энергетическом уровне при температуре Т определяется функцией Ферми – Дирака:
2 что такое уровень ферми
История развития коллоидной химии
Студентам
Знакомимся ближе
Разделы
Уровень Ферми
Вероятность нахождения электрона на том или ином энергетическом уровне при температуре Т определяется функцией Ферми – Дирака:
где WF – энергетический уровень, называемый уровнем Ферми.
При Т=0°К вероятность занятия электронами уровней W > WF равна нулю:
а уровней W WF, а энергетические уровни ВЗ – условию W 0°К появляется небольшая вероятность занятия электронами уровней в ЗП, а вероятность занятия уровней в ВЗ соответственно снижается.
Из формулы Ферми – Дирака видно, что при температуре, отличной от абсолютного нуля (Т>0), уровень Ферми – это такой энергетический уровень W = WF, формальная вероятность заполнения которого электроном равна 0,5 (т.к. е° = 1).
Формальное потому, что уровень Ферми находится в запрещенной зоне и фактически не может быть занят электроном. Таким образом, конкретный смысл имеют только те участники кривой распределения fn(W), которые расположены в ЗП и в ВЗ.
Кривая распределения Ферми – Дирака всегда симметрична относительно уровня Ферми. Из этого, в частности, следует, что в собственном полупроводнике уровень Ферми расположен посередине ЗЗ. При повышении температуры от нуля появляется определенная вероятность занятия электронами энергетических уровней в ЗП. Но при этом на такую же величину снижается вероятность нахождения электронов в ВЗ. Нетрудно видеть, что при симметричном размещении кривой распределения fn(W) относительно уровня Ферми это возможно только в случае, если уровень Ферми будет находиться посередине ЗЗ.
Уровень Ферми
В физике, энергия Ферми ( EF ) системы невзаимодействующих фермионов — это увеличение энергии основного состояния системы при добавлении одной частицы. Это эквивалентно химическому потенциалу системы в ее основном состоянии при абсолютном нуле температур. Это может также интерпретироваться как максимальная энергия фермиона в основном состоянии. Энергия Ферми — одно из центральных понятий физики твёрдого тела.
Фермионы — частицы с полуцелым спином, обычно 1/2, такие как электроны — подчиняются принципу запрета Паули, согласно которому две одинаковые частицы не могут занимать одно и то же квантовое состояние. Следовательно, фермионы подчиняются статистике Ферми — Дирака. Основное состояние невзаимодействующих фермионов строится начиная с пустой системы и постепенного добавления частиц по одной, последовательно заполняя состояния в порядке возрастания энергии. Когда необходимое число частиц достигнуто, энергия Ферми равна энергии самого высокого заполненного состояния (или самого низкого незанятого состояния; различие не важно, когда система является макроскопической). Поэтому энергию Ферми называют также уровнем Ферми. Частицы с энергией равной энергии Ферми двигаются со скоростью называемой скоростью Ферми.
В свободном электронном газе (квантовомеханическая версия идеального газа фермионов) квантовые состояния могут быть помечены согласно их импульсу. Кое-что подобное можно сделать для периодических систем, типа электронов движущихся в атомной решётке металла, используя так называемый квазиимпульс (Частица в периодическом потенциале). В любом случае, состояния с энергией Ферми расположены на поверхности в пространстве импульсов, известной как поверхность Ферми. Для свободного электронного газа, поверхность Ферми — поверхность сферы; для периодических систем, она вообще имеет искаженную форму. Объем заключённый под поверхностью Ферми определяет число электронов в системе, и её топология непосредственно связана с транспортными свойствами металлов, например, электрической проводимостью. Поверхности Ферми большинства металлов хорошо изучены экспериментально и теоретически.
Уровень Ферми при положительных температурах
При положительной температуре ферми-газ не будет являться вырожденным, и населённость уровней будет плавно уменьшаться от нижних уровней к верхним. В качестве уровня Ферми можно выбрать уровень, заполненный ровно наполовину (то есть вероятность находящегося на искомом уровне состояния быть заполненным частицей должна быть равна 1/2).
Энергия Ферми свободного ферми-газа связана с химическим потенциалом уравнением
См. также
Литература
Гусев В. Г., Гусев Ю. М. Электроника. — М.: Высшая школа, 1991. С. 53. ISBN 5-06-000681-6
2 что такое уровень ферми
§ 17. Уровень Ферми в металлах и функция распределения Ферми-Дирака
Уровень Ферми. Несмотря на огромное количество свободных электронов в металле, располагаются они по энергетическим уровням потенциальной ямы в строгом порядке. Каждый из электронов занимает вакантное место на возможно более низком уровне. И это вполне естественно, так как всякая система, будучи предоставлена самой себе, то есть в отсутствие внешнего воздействия, всегда стремится перейти в состояние с наименьшей энергией. Распределение электронов по уровням подчинено принципу Паули, согласно которому никакие две частицы не могут находиться в совершенно одинаковых состояниях. В силу этого на каждом энергетическом уровне может расположиться не более двух электронов, да и то имеющих различные направления спинов. По мере укомплектования нижних уровней происходит заселение все более высоко расположенных уровней. Если в рассматриваемом образце металла имеется N свободных электронов, то в отсутствие теплового возбуждения, то есть при абсолютном нуле температуры (T = 0), все свободные электроны разместятся попарно на N/2 нижних уровнях (рис. 47). Самый высокий энергетический уровень потенциальной ямы металла, занятый электронами при Т = 0, называется уровнем Ферми * и обозначается буквой μ или WF. Энергия электрона, находящегося на этом уровне, называется энергией Ферми. Все энергетические уровни, расположенные выше уровня Ферми, при Т = 0 оказываются абсолютно пустыми.
* ( Свое название этот уровень получил в честь выдающегося итальянского физика Э. Ферми, разработавшего совместно с известным английским физиком П. Дираком теорию поведения коллективов частиц, ведущих себя как электроны в металле.)
Рис. 47
Вполне очевидно, что для выхода электронов, находящихся на уровне Ферми, за пределы металла должна быть совершена работа
Рис. 48
Влияние температуры. При температурах, отличных от нуля, вид графика зависимости 
отличается от приведенного на рисунке 48. Повышение температуры приводит к появлению теплового возбуждения электронов, которое они получают от тепловых колебаний кристаллической решетки. Благодаря этому возбуждению часть электронов, расположенных на наиболее высоких заполненных уровнях, переходит на пустые уровни, лежащие выше уровня Ферми (рис. 49). Вероятность обнаружения электронов на этих уровня становится уже отличной от нуля. Одновременно с этим из-за ухода части электронов с некоторых уровней, расположенных непосредственно под уровнем Ферми, вероятность заполнения их окажется меньше единицы. Таким образом, повышение температуры приводит к некоторому «размытию» границы ступеньки Ферми: вместо скачкообразного изменения от 1 к 0 функция распределения совершает плавный переход. На рисунке 50 пунктиром показан вид графика функции распределения электронов по уровням при Т = 0, а сплошными линиями отражены распределения электронов при температурах, отличных от нуля. Площадь криволинейного треугольника, расположенного под кривой распределения правее значения WF (площадка 2), пропорциональна числу электронов, перешедших на возбужденные уровни, а площадь такого же треугольника, расположенного слева от значения WF над кривой распределения (площадка 1), пропорциональна числу электронов, ушедших с уровней, которые ранее были заполненными, то есть числу освободившихся под уровнем Ферми мест. Понятно, что площади этих двух треугольников одинаковы, так как с разных позиций они выражают одно и то же число электронов.
Рис. 49
Рис. 50
Следует отметить, что в диапазоне рабочих температур степень размытия кривой распределения электронов в металле очень невелика. Объясняется это тем, что тепловому возбуждению подвергаются только те электроны, которые расположены на энергетических уровнях, непосредственно примыкающих к уровню Ферми. Можно качественно оценить энергетическую глубину залегания уровней, подвергающихся возбуждению. Из молекулярной физики известно, что кинетическая энергия частиц, обусловленная тепловым движением, выражается так:
Следовательно, значение энергии, которую могут передать электронам испытывающие тепловые колебания атомы кристаллической решетки, по порядку величины равно kT. При комнатной температуре 
в то время как энергия Ферми для металлов при этой температуре лежит в диапазоне от 3 до 10 эВ. Поэтому оказывается, что в обычных условиях в переходах на более высокие энергетические уровни могут принимать участие не более 1% всех свободных электронов. Причем это как раз те электроны, энергия которых близка к энергии Ферми. Что же касается электронов, заселяющих энергетические уровни, расположенные в глубине потенциальной ямы и удаленные от уровня Ферми больше чем на kT, то они не принимают участия в тепловом возбуждении, из-за чего распределение этих электронов остается таким же, как и при абсолютном нуле.
Физический смысл уровня Ферми. Обсуждая в §6 способность твердых тел проводить электрический ток, мы пришли к выводу, что проводимость связана с возможностью перехода электронов на более высокие энергетические уровни, то есть определяется возможностью получения электронами ускорения во внешнем электрическом поле. В металлах при Т > 0 такая возможность имеется только у электронов, находящихся в области размытия функции распределения, так как реальные электрические поля не в состоянии вырвать электроны из глубины потенциальной ямы и перевести их на свободные уровни, энергия которых выше WF (перейти же на соседние, более высоко расположенные уровни глубинные электроны не могут, потому что все эти уровни заняты). Следовательно, при Т > 0 энергия Ферми имеет смысл наиболее вероятной или средней энергии электронов металла, могущих принять участие в проводимости при данной температуре. Эти электроны ответственны не только за создание электрической проводимости. Именно они определяют вклад электронной теплоемкости в общую теплоемкость кристалла и в значительной степени определяют теплопроводность кристалла.
Уровень Ферми в металлах практически не изменяет своего положения по мере повышения температуры. С ростом температуры степень возбуждения электронов растет, и они переходят на более высоко расположенные уровни. Одновременно с этим возбуждению подвергаются и все более глубоко расположенные уровни, имеющие меньшую энергию. Кривая распределения при Т2 > Т1 (см. рис. 50) «размывается» более сильно, чем при T1, но в равной степени вправо и влево. Поэтому средняя энергия электронов, принимающих участие в проводимости, остается практически неизменной. Это тем более справедливо, что между возбужденными уровнями идет постоянный обмен электронами.
СОДЕРЖАНИЕ
Измерение напряжения
Фактически, величина, называемая напряжением, измеряемая в электронной схеме, имеет простую связь с химическим потенциалом электронов (уровнем Ферми). Когда выводы вольтметра присоединены к двум точкам в цепи, отображаемое напряжение является мерой общей работы, передаваемой, когда единичному заряду позволяют перемещаться из одной точки в другую. Если простой провод подключен между двумя точками с разным напряжением (образуя короткое замыкание ), ток будет течь от положительного к отрицательному напряжению, преобразовывая имеющуюся работу в тепло.
Электронная схема в термодинамическом равновесии будет иметь постоянный уровень Ферми во всех соединенных частях.
Это также означает, что напряжение (измеренное с помощью вольтметра) между любыми двумя точками будет равно нулю в состоянии равновесия. Обратите внимание, что термодинамическое равновесие здесь требует, чтобы цепь была подключена внутри и не содержала никаких батарей или других источников питания, а также каких-либо изменений температуры.
Зонная структура твердых тел
Расположение µ в ленточной структуре материала важно для определения электрического поведения материала.
В полупроводниках и полуметаллах положение µ относительно зонной структуры обычно можно в значительной степени контролировать с помощью легирования или стробирования. Эти элементы управления не изменяют µ, который фиксируется электродами, а заставляют всю структуру ленты перемещаться вверх и вниз (иногда также изменяя форму структуры ленты). Для получения дополнительной информации об уровнях Ферми полупроводников см. (Например) Sze.
Привязка к локальной зоне проводимости, внутренний химический потенциал и параметр ζ
Отсюда следует, что функцию распределения Ферми – Дирака можно записать как
Температура вне равновесия
Уровень Ферми μ и температура T являются четко определенными константами для твердотельного устройства в ситуации термодинамического равновесия, например, когда оно сидит на полке и ничего не делает. Когда устройство выводится из состояния равновесия и вводится в эксплуатацию, тогда, строго говоря, уровень Ферми и температура перестают быть четко определенными. К счастью, часто можно определить квазиуровень Ферми и квазитемпературу для данного местоположения, которые точно описывают заполнение состояний с точки зрения теплового распределения. Говорят, что устройство находится в квазиравновесном состоянии, когда и где такое описание возможно.
Квазиравновесный подход позволяет построить простую картину некоторых неравновесных эффектов, таких как электрическая проводимость куска металла (как результат градиента μ ) или его теплопроводность (как результат градиента T ). Квази- μ и квази- T могут изменяться (или не существовать вообще) в любой неравновесной ситуации, например:
Технические детали
Проблемы терминологии
Обозначение уровня Ферми и расположение нулевого уровня Ферми
Подобно выбору начала координат в системе координат, нулевая точка энергии может быть определена произвольно. Наблюдаемые явления зависят только от разницы энергий. Однако при сравнении отдельных тел важно, чтобы все они были последовательны в выборе местоположения нулевой энергии, иначе будут получены бессмысленные результаты. Поэтому может быть полезно явно указать общую точку, чтобы убедиться, что разные компоненты согласуются. С другой стороны, если контрольная точка по своей сути неоднозначна (например, «вакуум», см. Ниже), она вместо этого вызовет больше проблем.
Почему не рекомендуется использовать «энергию в вакууме» в качестве опорного нуля
При термодинамическом равновесии в вакууме обычно существует разность электрических потенциалов порядка 1 В ( потенциалы Вольта ). Источником этого изменения вакуумного потенциала является изменение работы выхода между различными проводящими материалами, подвергающимися воздействию вакуума. Электростатический потенциал вне проводника сильно зависит от материала, а также от выбранной поверхности (ориентации кристаллов, загрязнения и других деталей).
Эффекты дискретной зарядки в небольших системах
В случаях, когда «эффектами зарядки», обусловленными одним электроном, нельзя пренебречь, приведенные выше определения следует уточнить. Например, рассмотрим конденсатор, состоящий из двух одинаковых параллельных пластин. Если конденсатор не заряжен, уровень Ферми одинаков с обеих сторон, поэтому можно подумать, что для перемещения электрона с одной пластины на другую не требуется энергии. Но когда электрон перемещается, конденсатор становится (слегка) заряженным, поэтому на это требуется небольшое количество энергии. В обычном конденсаторе это незначительно, но в конденсаторе нанометрового размера это может быть более важным.
В этом случае необходимо уточнить термодинамическое определение химического потенциала, а также состояние устройства: электрически оно изолировано или подключено к электроду?