Свойства степеней. Действия со степенями
Что такое степень числа
В учебниках по математике можно встретить такое определение:
«Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n раз подряд»
a — основание степени;
n — показатель степени.
Читается такое выражение, как a в степени n
Если говорить проще то, степень, а точнее показатель степени (n), говорит нам о том, сколько раз следует умножить это число (основание степени) само на себя.
А значит, если у нас есть задачка, где спрашивают, как возвести число в степень, например, число 2 в третью степень, то она решается довольно просто:
2 — основание степени;
3 — показатель степени.
Если вам нужно быстро возвести число в степень, можно использовать наш онлайн-калькулятор. Но чтобы не упасть в грязь лицом на контрольной по математике, придется все-таки разобраться с теорией.
Рассмотрим пример из жизни, чтобы было понятно, для чего можно использовать возведение чисел в степень на практике.
Задачка про миллион: представьте, что у вас есть миллион рублей. В начале каждого года вы зарабатываете на нем еще два. Получается, что миллион каждый год утраивается. Был один, а стало три — и так каждый год. Здорово, правда? А теперь посчитаем, какая сумма у вас будет через 4 года.
Как решаем: один миллион умножаем на три (1·3), затем результат умножаем на три, потом еще на три. Наверное, вам уже стало стало скучно, потому что вы поняли, что три нужно умножить само на себя четыре раза. Так и сделаем:
Математики заскучали и решили все упростить:
Ответ: через четыре года у вас будет 81 миллион.
Таблица степеней
Здесь мы приведем результаты возведения в степень натуральных чисел от 1 до 10 в квадрат (показатель степени два) и куб (показатель степени 3).
243 пятая степень чего
1 1 =1
1 2 =1
1 3 =1
1 4 =1
1 5 =1
1 6 =1
1 7 =1
1 8 =1
1 9 =1
1 10 =1
2 1 =2
2 2 =4
2 3 =8
2 4 =16
2 5 =32
2 6 =64
2 7 =128
2 8 =256
2 9 =512
2 10 =1024
3 1 =3
3 2 =9
3 3 =27
3 4 =81
3 5 =243
3 6 =729
3 7 =2187
3 8 =6561
3 9 =19683
3 10 =59049
4 1 =4
4 2 =16
4 3 =64
4 4 =256
4 5 =1024
4 6 =4096
4 7 =16384
4 8 =65536
4 9 =262144
4 10 =1048576
5 1 =5
5 2 =25
5 3 =125
5 4 =625
5 5 =3125
5 6 =15625
5 7 =78125
5 8 =390625
5 9 =1953125
5 10 =9765625
6 1 =6
6 2 =36
6 3 =216
6 4 =1296
6 5 =7776
6 6 =46656
6 7 =279936
6 8 =1679616
6 9 =10077696
6 10 =60466176
7 1 =7
7 2 =49
7 3 =343
7 4 =2401
7 5 =16807
7 6 =117649
7 7 =823543
7 8 =5764801
7 9 =40353607
7 10 =282475249
8 1 =8
8 2 =64
8 3 =512
8 4 =4096
8 5 =32768
8 6 =262144
8 7 =2097152
8 8 =16777216
8 9 =134217728
8 10 =1073741824
9 1 =9
9 2 =81
9 3 =729
9 4 =6561
9 5 =59049
9 6 =531441
9 7 =4782969
9 8 =43046721
9 9 =387420489
9 10 =3486784401
10 1 =10
10 2 =100
10 3 =1000
10 4 =10000
10 5 =100000
10 6 =1000000
10 7 =10000000
10 8 =100000000
10 9 =1000000000
10 10 =10000000000
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 n | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 n | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 |
| 3 n | 3 | 9 | 27 | 81 | 243 | 729 | 2187 | 6561 | 19683 | 59049 |
| 4 n | 4 | 16 | 64 | 256 | 1024 | 4096 | 16384 | 65536 | 262144 | 1048576 |
| 5 n | 5 | 25 | 125 | 625 | 3125 | 15625 | 78125 | 390625 | 1953125 | 9765625 |
| 6 n | 6 | 36 | 216 | 1296 | 7776 | 46656 | 279936 | 1679616 | 10077696 | 60466176 |
| 7 n | 7 | 49 | 343 | 2401 | 16807 | 117649 | 823543 | 5764801 | 40353607 | 282475249 |
| 8 n | 8 | 64 | 512 | 4096 | 32768 | 262144 | 2097152 | 16777216 | 134217728 | 1073741824 |
| 9 n | 9 | 81 | 729 | 6561 | 59049 | 531441 | 4782969 | 43046721 | 387420489 | 3486784401 |
| 10 n | 10 | 100 | 1000 | 10000 | 100000 | 1000000 | 10000000 | 100000000 | 1000000000 | 10000000000 |
Таблица степеней
В таблице степеней содержатся значения натуральных положительных чисел от 1 до 10.
Запись 3 5 читают «три в пятой степени». В этой записи число 3 называют основанием степени, число 5 показателем степени, выражение 3 5 называют степенью.
Показатель степени указывает сколько множителей в произведение, 3 5 =3×3×3×3×3=243
Текстовый документ по теме «Степень числа»
Один раз мне на олимпиаде по математике попался вопрос:
„Какой цифрой оканчивается значение выражения 2 в 2013 степени?“
Определение степени я уже знала. Со свойствами степени я была знакома. Но ответить на данный вопрос не смогла. И я поставила перед собой цель:
узнать, какой цифрой оканчивается значение выражения чисел в разных степенях.
выяснить, какой цифрой оканчивается значения выражения от 2 до 10 в степени 2015;
заметить закономерность появления цифр на конце степени числа;
Оказывается, это очень просто узнать…
Если возводить в степень цифру 2,можно кое-что заметить:
2 в первой степени- 2
2 во второй степени- 4
2 в трет ь ей степени- 8
2 в четвёртой степени- 1 6
2 в пятой степени- 3 2
2 в шестой степени- 6 4
2 в седьмой степени- 12 8
2 в восьмой степени- 25 6
2 в девятой степени- 51 2
2 в десятой степени- 102 4
Из наблюдений можно составить таблицу:
Какой же цифрой оканчивается значение выражения 2 в 2013 степени?
Для этого нужно разделить 2013 на 4 с остатком.
После деления в столбик,2013/4=503(ост.1)
Остаток от деления на 4 показателя, будет 1.
Смотрим на таблицу.
И так получаем, что 2 в 2013 степени будет оканчиваться цифрой 2.
Узнаем, какой же цифрой оканчивается значение выражения 2 в 2015 степени.
Делим 2015 на 4.
Из таблицы получаем, что значение выражения 2 в 2015 степени будет оканчиваться цифрой 8.
Итак, будем возводить в степень цифру 3:
3 в первой степени-
3 во второй степени- 9
3 в третей степени-2 7
3 в четвёртой степени-8 1
3 в пятой степени- 24 3
3 в шестой степени-72 9
3 в седьмой степени-218 7
3 в восьмой степени-656 1
3 в девятой степени-1968 3
3 в десятой степени-5404 9
Решим точно так же. 2015 делим на 4 с остатком
Остаток 3. Смотрим в таблицу.
И так получаем, что 3 в 2015 степени, будет оканчиваться цифрой 7.
Рассмотрим ещё и 4 в степени от 1до 10. Имеем:
4 в первой степени: 4
4 во второй степени: 16
4 в третей степени: 64
4 в четвертой степени: 256
4 в пятой степени: 1024
4 в шестой степени: 4096
4 в седьмой степени: 16384
4 в восьмой степени: 65636
4 в девятой степени: 262144
4 в десятой степени: 10485
Если цифру 4 возводить в степень, число будет оканчиваться только на: 4, 6.
„Какой цифрой оканчивается значение выражения 4 в 2015 степени?“
Делим 2015 уже на 2. 2015/2 = 1007 (ост: 1)
Значение выражения 4 в 2015 степени будет оканчиваться цифрой 6
Степень числа 5,6, 10.
5 во второй степени: 25
5 в третьей степени: 125
5 в четвёртой степени: 625
5 в пятой степени: 3125
5 в шестой степени: 15625
5 в седьмой степени: 78125
5 в восьмой степени: 390625
5 в девятой степени: 1953125
5 в десятой степени: 9765625
Если цифру 5 возводить в степень, число будет оканчиваться только на: 5
В какую бы мы степень не возводили цифру 5. Число всё равно будет оканчиваться на 5.
Так же число 6.
В какую бы степень не возводили 6, значение выражения будет оканчиваться на 6.
Ещё число 10, тоже имеет одну цифру на конце.
Продолжим возводить в степень число7.
7 в первой степени: 7
7 во второй степени: 49
7 в третьей степени: 343
7 в четвёртой степени: 2401
7 в пятой степени: 16807
7 в шестой степени: 117649
7 в седьмой степени: 823543
7 в восьмой степени: 5764801
7 в девятой степени: 40353607
7 в десятой степени: 282475249
„Какой цифрой оканчивается значение выражения 7 в 2015 степени?“
Делим 2015 на 4.
2015/4 = 503 (ост: 3). А остатки от деления только 1и 3. Что делать?
Значение выражения 7 в 2015 степени оканчивается той же цифрой, что и 7 в третьей степени, то есть цифрой 3
Возводим в степень число 8.
8 в первой степени: 8
8 во второй степени: 64
8 в третьей степени: 512
8 в четвёртой степени: 4096
8 в пятой степени: 32768
8 в шестой степени: 262144
8 в седьмой степени: 2097152
8 в восьмой степени: 16777216
8 в девятой степени: 134217728
8 в десятой степени: 1073741824
На конце выражения степени числа8 стоят цифры- 8, 4,2,6 –всего 4 цифры.
а 4т+п имеет последней ту же цифру, что число 8 п
Какой цифрой оканчивается значение выражения 8 в 2015 степени?“
9 в первой степени: 9
9 во второй степени: 81
9 в третьей степени: 729
9 в четвёртой степени: 6561
9 в пятой степени: 59049
9 в шестой степени: 531441
9 в седьмой степени: 4782969
9 в восьмой степени: 43046721
9 в девятой степени:4782969
9 в десятой степени: 43046721
Окончание степени числа 9 только 2 числа: 9 и 1
Выражение 9 в 2015 степени оканчивается цифрой 9, так как: 2015 показатель степени нечетный.
Примеры задач.
Примеры задач взяты из интернета « Методическая разработка занятия с одаренными детьми «Степень с натуральным показателем. Сравнение степеней», составленной учителями:
если число оканчивается на 8, то его степени оканчиваются на 8,4,2,6. Повторение через 4.
оканчивается на “5” (1+4=5).
Ответ. Данное выражение оканчивается на “5”
Доказать, что разность 999993 1999 – 777777 1997 кратна 5.
Если число оканчивается на 7, то степень числа оканчивается на 7,9,3,1. повторение через 4.
Разность данных чисел оканчивается на 0 (7–7=0), 0:5, следовательно, разность кратна “5”.
Ответ. Разность кратна 5.
Если степень четная, то число оканчивается на 1, если степень нечетная, то на 9.
99 9 оканчивается на 9, т.к. 9 – нечетное число
число 99 9 – нечетное, т.к. оканчивается на 9.
((999 99 ) 9 оканчивается на 9, т.е. оно нечётное.
((999 999 ) 99 ) 9 оканчивается на 9, т.к. степень нечетная.
Наша сумма оканчивается на 5 (6+7+2=15).
Ответ. Сумма оканчивается на 5, кратна 5.
Ответ. Число оканчивается на 7.
Вывод: Я заметила закономерность появления цифр на конце степени числа. Узнала, какой цифрой оканчивается значение выражения чисел от 2 до 10 в степени 2015
Полученные знания можно применять: в математике, в логических задачах, на олимпиадах.
Литература.
« Методическая разработка занятия с одаренными детьми «Степень с натуральным показателем. Сравнение степеней», составленная учителями: