что показатели вариации позволяют оценить и измерить

19.12.202324.07.2023 admin 0 Comments

Тема 6 Показатели вариации

Информация о средних уровнях исследуемых показателей обычно бывает недостаточной для глубокого анализа изучаемого процесса или явления. Необходимо учитывать и разброс или вариацию значений отдельных единиц.

Основными показателями, характеризующими вариацию, являются: размах, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

Размах вариации – простейший показатель, разность между максимальным и минимальным значениями признака.

\[ \begin R=x_-x_ \end \] Недостатком является то, что он оценивает только границы варьирования признака и не отражает его колеблемость внутри этих границ.

Дисперсия – средний квадрат отклонений значений признака от их средней величины и определяется по формулам простой

Если коэффициент вариации не превышает 33%, то совокупность по рассматриваемому признаку можно считать однородной.

Показатели вариации могут быть использованы не только в анализе изменчивости изучаемого признака, но и для оценки степени воздействия одного признака на вариацию другого признака, т.е.е в анализе взаимосвязей между показателями.

При проведении такого анализа совокупность должна представлять собой множество единиц, каждая из которых характеризуется двумя признаками – факторным и результативным.

Для выявления взаимосвязи исходная совокупность делится на две или более групп по факторному признаку. Выводы о степени взаимосвязи базируются на анализе вариации результативного признака. При этом применяется правило сложения дисперсий:

Межгрупповая дисперсия отражает ту часть вариации результативного признака, которая обусловлена воздействием факторного признака. Это воздействие проявляется в отклонении групповых средних от общей средней:

Если факторный признак, по которому производится группировка, не оказывает никакого влияния на результативный признак, то групповые средние будут равны между собой и совпадут с общей средней. В этом случае межгрупповая средняя будет равна нулю.

Средняя из внутригрупповых дисперсий отражает ту часть вариации результативного признака, которая обусловлена действием всех прочих неучтенных факторов, кроме фактора, по которому осуществлялась группировка:

Теснота связи между факторным и результативным признаком оценивается на основе эмпирического корреляционного отношения:

\[ \begin \eta_э = \sqrt < \frac <\delta^2> <\sigma_o^2>> \end \] Данный показатель может принимать значения от 0 до 1. Чем ближе к 1 будет его величина, тем сильнее взаимосвязь между рассматриваемыми признаками.

Среди множества варьирующих признаков, изучаемых статистикой, существуют признаки, которыми обладают одни единицы совокупности и не обладают другие. Эти признаки называются альтернативными. Альтернативный признак принимает всего два значения – 0 и 1 с весами соответственно p и q. Поэтому среднее значение альтернативного признака равно р. А дисперсия альтернативного признака равна pq. Дисперсия альтернативного признака равна произведению доли признака, обладающего характеристикой на долю признака, не обладающего характеристикой. Предельное значение дисперсии для альтернативного признака равно 0,25 при р=0,5.

Дисперсия альтернативного признака широко применяется в выборочном обследовании.

Изменения частот в вариационных рядах изменяются закономерно в связи с изменением варьирующего признака. Такие закономерности называются закономерностями распределения.

Основная задача анализа вариационных рядов заключается в выявлении подлинной закономерности распределения путем исключения влияния второстепенных, случайных для данного распределения факторов.

Если увеличить объем совокупности и уменьшить интервал в группах, то графическое изображение приближается к некоторой плавной кривой, которая называется кривой распределения.

Кривая распределения – графическое изображение в виде непрерывной линии изменения частот в вариационном ряду, функционально связанного с изменением вариант.

Теоретическая кривая распределения – кривая, выражающая общую закономерность данного типа распределения в чистом виде, исключающего влияние случайных для него факторов.

Выяснение общего характера распределения предполагает оценку его однородности, а также расчет показателей асимметрии и эксцесса.

При сравнительном изучении асимметрии нескольких распределений с разными единицами измерения вычисляется относительный показатель асимметрии:

Его величина может быть положительной (для правосторонней асимметрии) и отрицательной (для левосторонней асимметрии).

Применение данного показателя дает возможность определить не только величину асимметрии, но и проверить ее наличие в генеральной совокупности. Принято считать, что асимметрия выше 0,5 (независимо от знака) считается значительной. Если асимметрия меньше 0,25, она считается незначительной.

Если коэффициент асимметрии находится в интервале от 0,25 до 0,5, то наличие асимметрии в генеральной совокупности проверяется с помощью определения оценки существенности на основе средней квадратической ошибки:

Для симметричных распределений может быть рассчитан показатель эксцесса, который показывает, насколько резкий скачок имеет изучаемое явление. Показатель эксцесса определяется на основе центрального момента четвертого порядка по формуле:

Если показатель эксцесса больше нуля, то распределение островершинное и скачок считается значительным, если коэффициент эксцесса меньше нуля, то распределение считается плосковершинным и скачок считается незначительным. Среднеквадратическая ошибка эксцесса показывает, насколько существенен скачок в явлении и рассчитывается по формуле:

\[ \begin \sigma_ = \sqrt < \frac<24n(n-2)(n-3)> <(n-1)^2(n+3)(n+5)>> \end \] К структурным характеристикам ряда распределения относятся мода, медиана, квартили, децили и перцентили.

Квартили представляют собой значение признака, делящее ранжированную совокупность на четыре равновеликие части. Различают квартиль первого порядка (нижний квартиль) и квартиль третьего порядка (верхний квартиль). Каждый из них отсекает соответственно ¼ и ¾ совокупности. Для расчета квартилей используются следующие формулы:

Децили – варианты, делящие ранжированный ряд на десять равных частей. Первый дециль отсекает 1/10 часть совокупности, а девятый дециль отсекает 9/10 частей. Рассчитываются децили по аналогичным формулам:

Перцентили – варианты, которые делят ранжированную совокупность на 100 частей.

Источник

Показатели вариации

Вариация – это различие в значениях какого – либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени.

Например работники СХПК различаются по доходам, затратам времени на работу, росту, весу, образованию, профессии и т.д.

Размах вариации R –разность между максимальным и минимальным значениями признака

Однако размах вариации показывает лишь крайние отклонения признака и не отражает отклонений всех вариант в ряду. Для более точного анализа вариации необходимы показатели, которые отражают все колебания варьирующего признака и дают обобщенную характеристику. Простейший из показателей такого типа – среднее линейное отклонение .Оно определяется как среднее арифметическое из отклонений индивидуальных значений от средней без учета знака этих отклонений.

или

Среднее линейное отклонение как меру вариации признака применяют в статистической практике в тех случаях, когда суммирование показателей без учета знаков имеет экономический смысл (например, анализ состава работающих, ритмичность производства, оборот внешней торговли).

Дисперсия в зависимости от исходных данных вычисляется по формулам простой и взвешенной.

или

Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонений вариантов от их средней величины.

Среднее квадратическое отклонение равно корню квадратному из дисперсии. Оно показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения. Среднее квадратическое отклонение является абсолютной мерой колеблемости признака и выражается в тех же единицах, что и варианты.

Чем меньше значение дисперсии и среднего квадратического отклонения, тем качественно однороднее совокупность и тем более типичной будет средняя величина.

Для сравнения вариаций различных признаков, а также колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях используют относительный показатель вариации – коэффициент вариации V.

Коэффициент вариации характеризует, на сколько процентов в среднем отклоняются индивидуальные показатели от их среднего значения.

Коэффициент вариации используют не только для сравнительной оценки вариации единиц совокупности, но и как характеристику однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%.

Например, имеются данные о сменной выработке рабочих бригады, которые представлены интервальным рядов распределения:

Группы рабочих по сменной выработке изделий, шт.	Число рабо- чих f	Середина интервала x	Расчетные значения
X f
170-190	-36
190-210	-16
210-230
230-250
Итого	X	X	X

Исчислим среднюю выработку на одного работника:

(шт.)

Таким образом, индивидуальные выработки рабочих за смену колеблются вокруг средней выработки в среднем на 216 изделий или 8%. Данная бригада рабочих по выработке достаточно однородна, поскольку вариация признака составляет лишь 8%, что меньше 33%.

Вариация признака обусловлена различными факторами. Определить их влияние на колеблемость индивидуальных значений признака можно при помощи трех видов дисперсий:

1) общей дисперсии

2) межгрупповой дисперсии

3) средней из внутригрупповых дисперсий

Общая дисперсия измеряет вариацию признакапо всейсовокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию. Она может быть вычислена по простой или взвешенной формуле:

или

Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию результативного признака, обусловленную влиянием факторного признака, положенного в основу группировки.

,т.е. она равна среднему квадрату отклонений групповых средних от общей средней по всей совокупности .

Внутригрупповая дисперсия отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, обусловленную влиянием неучтенных факторов и не зависящую от группировочного признака. Она исчисляется внутри каждой группы:

или

На основании внутригрупповых дисперсий вычисляют среднюю из внутригрупповых дисперсий:

Согласно правилу сложения дисперсий общая дисперсия равна сумме межгрупповой дисперсии и средней из внутригрупповых дисперсий, т.е.

Например, при изучении влияния квалификации (тарифного разряда) рабочих на уровень производительности труда в цехе были получены данные, представленные в таблице:

NN п/п	Рабочие 4-го разряда	N п/п	Рабочие 5-го разряда
Выработка, шт.			Выработка, шт.
-3	-1
-1	-1
-1
-2
Итог	X	X

Результативный признак – выработка рабочего – варьирует под влиянием факторного признака (квалификации), а также под влиянием других неучтенных случайных факторных признаков. Задача заключается в измерении этих вариаций с помощью дисперсий: общей, межгрупповой и внутригрупповых.

1. Для расчета групповых дисперсий исчислим средние выработки по каждой группе и общую среднюю выработку, шт.:

по первой группе

по второй группе

в целом по десяти рабочим

Общая дисперсия отражает суммарное влияние всех возможных факторов на общую вариацию выработки изделий в среднем рабочими цеха.

3. Исчислим межгрупповую дисперсию

Межгрупповая дисперсия характеризует вариацию групповых средних, обусловленную различиями групп рабочих по квалификационному разряду.

4. Данные для расчета внутригрупповых дисперсий представлены в таблице.

— по первой группе

— по второй группе

Средняя из внутригрупповых дисперсий:

отражает вариацию выработки, обусловленную всеми факторами, кроме квалификации рабочих.

5. Проверим правило сложения дисперсий:

Очевидно, чем больше доля межгрупповой дисперсии в общей, тем сильнее влияние группировочного признака (квалификационного разряда) на результативный признак (количество изделий на рабочего).

Для определения этой доли используется эмпирический коэффициент детерминации

показывает долю вариации результативного признака под влиянием факторного признака.

или 66,6%

ТЕМА: «ВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД»

Выборочное наблюдение представляет собой такое несплошное наблюдение, при котором отбор подлежащих обследованию единиц осуществляется в случайном порядке, далее отобранная часть изучается, а затем результаты распространяются на всю исходную совокупность. Наблюдение осуществляется таким образом, что эта часть отобранных единиц представляет всю совокупность с достаточной для практике степенью точности.

Совокупность, из которой производится отбор, называется генеральной,и все ее обобщающие показатели – генеральными.

Выборочная совокупность –это совокупность единиц, отобранных из генеральной совокупности. Все ее обобщающие показатели называются выборочными.

Основными причинами, по которым во многих случаях выборочному наблюдению отдается предпочтение перед сплошным, являются:

Преимущество выборочного наблюдения по сравнению со сплошным можно реализовать, если оно организовано и приведено в соответствии с научными принципами теории выборочного метода. Это обеспечение случайности, т. е. равной возможности попадания в выборку единиц генеральной совокупности, и достаточного числа единиц отбора.

Основная задача выборочного наблюдения состоит в том, чтобы на основе характеристик выборочной совокупности (т.е. средней и доли) получить достоверные суждения о показателях средней и доли в генеральной совокупности. При этом следует иметь в виду, что при любых статистических исследованиях (сплошных и выборочных) возникают ошибки.

Ошибки регистрации могут возникать и при сплошных, и при выборочных наблюдениях. Они могут иметь случайный (непреднамеренный) и систематический (преднамеренный) характер.

Ошибки репрезентативности (представительности) присущи только выборочному наблюдению и возникают в силу того, что выборочная совокупность не полностью воспроизводит генеральную. Они представляют собой расхождение между значениями показателей, полученных по выборке, и значениями показателей этих же величин, которые были бы получены при проведенной с одинаковой степенью точности сплошном наблюдении, т.е. между величинами выборочных и генеральных характеристик.

Ошибки репрезентативности возникают вследствие двух причин:

1) из-за нарушения принципа случайности как основного принципа выборки (систематические ошибки)

2) в результате самого отбора (случайные ошибки)

Систематические ошибки выборки устраняются. Случайные ошибки устранить нельзя, но их рассчитывают и учитывают при переносе выборочных характеристик на генеральную совокупность.

Средняя ошибка выборки представляет собой такое расхождение между средними выборочной и генеральной совокупностей, которое не превышает среднеквадратическое отклонение в выборке.

Предельной ошибкой называется максимальное расхождение средних характеристик выборочной и генеральной совокупностей при заданной вероятности появления этой ошибки.

По методу отбора различают повторную и бесповторную выборки.

При повторной выборке ту или иную единицу, попавшую в выборку, после регистрации снова возвращают в генеральную совокупность, и она сохраняет равную возможность со всеми прочими единицами вновь попасть в выборку.

При бесповторной выборке единица совокупности, попавшая в выборку, в генеральную совокупность не возвращается и в дальнейшем в выборке не участвует.

По степени охвата единиц совокупности различают большие и малые (n

Источник

Показатели вариации

Поможем написать любую работу на аналогичную тему

Показатели вариации. При изучении варьирующего признака у единиц совокупности нельзя ограничиваться лишь расчетом средней величины из отдельных вариантов, так как одна и та же средняя может относиться далеко не к одинаковым по составу совокупностям.

Вариацией признака называется различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности.

Термин «вариация» произошел от латинского variatio – изменение, колеблемость, различие. Однако не всякие различия принято называть вариацией.

Под вариацией в статистике понимают такие количественные изменения величины исследуемого признака в пределах однородной совокупности, которые обусловлены перекрещивающимся влиянием действия различных факторов. Колеблемость отдельных значений характеризуют показатели вариации. Чем больше вариация, тем дальше в среднем отдельные значения лежат друг от друга.

Различают вариацию признака в абсолютных и относительных величинах.

К абсолютным показателям относятся: размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, дисперсия. Все абсолютные показатели имеют ту же размерность, что и изучаемые величины.

К относительным показателям относятся коэффициенты осцилляции, линейного отклонения и вариации.

Показатели абсолютные. Рассчитаем абсолютные показатели, характеризующие вариацию признака.

Размах вариации, представляет собой разность между максимальным и минимальным значением признака.

Показатель размаха вариации не всегда применим, так как он учитывает только крайние значения признака, которые могут сильно отличаться от всех других единиц.

Более точно можно определить вариацию в ряду при помощи показателей, учитывающих отклонения всех вариантов от средней арифметической.

Таких показателей в статистике два: среднее линейное и среднее квадратическое отклонение.

Среднее линейное отклонение (L) представляет собой среднее арифметическое из абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от средней.

– для несгруппированных данных;

– для сгруппированных данных.

Практическое использование среднего линейного отклонения заключается в следующем, с помощью этого показателя анализируется состав работающих, ритмичность производства, равномерность поставок материалов.

Недостаток этого показателя заключается в том, что он усложняет расчеты вероятного типа, затрудняет применение методов математической статистики.

Среднее квадратическое отклонение () является наиболее распространенным и общепринятым показателем вариации. Оно несколько больше среднего линейного отклонения. Для умеренно асимметричных распределений установлено следующее соотношение между ними

=1,25L

Для его исчисления каждое отклонение от средней возводится в квадрат, все квадраты суммируются (с учетом весом), после чего сумма квадратов делится на число членов ряда и из частного извлекается корень квадратный.

Все эти действия выражает следующая формула

– для несгруппированных данных,

– для сгруппированных данных.

т.е. среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из средней арифметической квадратов отклонений от средней.

Среднее квадратическое отклонение является мерилом надежности средней. Чем меньше σ, тем лучше среднее арифметическое отражает собой всю представляемую совокупность.

Средняя арифметическая из квадратов отклонений вариантов значений признака от средней величины носит название дисперсии (), которая рассчитывается по формулам

– для несгруппированных,

– для сгруппированных.

Отличительной особенностью данного показатели является то, что при возведении в квадрат () удельный вес малых отклонений уменьшается, а больших увеличивается в общей сумме отклонений.

Дисперсия обладает рядом свойств, некоторые из них позволяют упростить её вычисление:

1. Дисперсия постоянной величины равна 0.

Если , то и .

Тогда .

2. Если все варианты значений признака (x) уменьшить на одно и то же число, то дисперсия не уменьшится.

Пусть , но тогда в соответствии со свойствами средней арифметической и .

Дисперсия в новом ряду будет равна

, т.е. дисперсия в ряду равна дисперсии первоначального ряда .

3. Если все варианты значений признака уменьшить в одно и то же число раз (k раз), то дисперсия уменьшится в k2 раз.

Пусть , тогда и .

Дисперсия же нового ряда будет равна

Выше был рассмотрен расчет показателей вариации для количественных признаков, но в экономических расчетах может ставиться задача оценки вариации качественных признаков. Например, при изучении качества изготовленной продукции, продукцию можно разделить на качественную и бракованную.

В таком случае речь идет об альтернативных признаках.

Альтернативными признаками называются такие, которыми одни единицы совокупности обладают, а другие нет. Например, наличие производственного стажа у абитуриентов, ученая степень у преподавателей ВУЗов и т.д. Наличие признака у единиц совокупности условно обозначаем через 1, а отсутствие – 0. Тогда, если долю единиц, обладающих признаком (в общей численности единиц совокупности), обозначить через р, а долю единиц, не обладающих признаком, через q, дисперсию альтернативного признака можно рассчитать по общему правилу. При этом p + q = 1 и, значит, q = 1– p.

Сначала рассчитываем среднее значение альтернативного признака:

Рассчитаем среднее значение альтернативного признака

т.е. среднее значение альтернативного признака равно доле единиц, обладающих данным признаком.

Дисперсия же альтернативного признака будет равна:

Таким образом, дисперсия альтернативного признака равняется произведению доли единиц, обладающих данным признаком, на долю единиц, не обладающих данным признаком.

А среднее квадратическое отклонение будет равно =.

Показатели относительные. Для целей сравнения колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или же при сравнении колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях представляют интерес показатели вариации, выраженные в относительных величинах. Базой для сравнения служит средняя арифметическая. Эти показатели вычисляются как отношение размаха вариации, среднего линейного отклонения или среднего квадратического отклонения к средней арифметической или медиане.

Чаще всего они выражаются в процентах и определяют не только сравнительную оценку вариации, но и дают характеристику однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%. Различают следующие относительные показатели вариации:

1. Коэффициент осцилляции отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней.

2. Относительное линейное отклонение характеризует долю усредненного значения абсолютных отношений от средней величины.

3. Коэффициент вариации оценивает типичность средних величин.

Чем меньше , тем однороднее совокупность по изучаемому признаку и типичнее средняя. Если ≤33%, то распределение близко к нормальному, а совокупность считается однородной. Из приведенного примера вторая совокупность однородна.

Виды дисперсий и правило сложения дисперсий. Наряду с изучением вариации признака по всей совокупности в целом часто бывает необходимо проследить количественные изменения признака по группам, на которые разделяется совокупность, а также и между группами. Такое изучение вариации достигается посредством вычисления и анализа различных видов дисперсии.

При этом можно определить три показателя колеблемости признака в совокупности:

1. Общую вариацию совокупности, которая является результатом действия всех причин. Эта вариация может быть измерена общей дисперсией (), характеризующей отклонения индивидуальных значений признака совокупности от общей средней

2. Вариацию групповых средних, выражающих отклонения групповых средних от общей средней и отражающих влияние того фактора, по которому произведена группировка. Эта вариация может быть измерена так называемой межгрупповой дисперсией (δ2)

где — групповые средние, а -общая средняя для всей совокупности, и — численность отдельных групп.

3. Остаточную (или внутригрупповую) вариацию, которая выражается в отклонении отдельных значений признака в каждой группе от их групповой средней и, следовательно, отражает влияние всех прочих факторов кроме положенного в основу группировки. Поскольку вариацию в каждой группе отражает групповая дисперсия

то для всей совокупности остаточную вариацию будет отражать средняя из групповых дисперсий. Эту дисперсию называют средней из внутригрупповых дисперсий () и рассчитывается она по формуле

Общая вариация признака в совокупности должна определяться как сумма вариации групповых средних (за счет одного выделенного фактора) и остаточной вариации (за счет остальных факторов). Это равенство находит свое выражение в сложении дисперсий

Это равенство, имеющее строго математическое доказательство, известно, как правило сложения дисперсий.

Правило сложения дисперсий позволяет находить общую дисперсию по её компонентам, когда индивидуальные значения признака неизвестны, а в распоряжении имеются только групповые показатели.

Коэффициент детерминации. Правило сложения дисперсии позволяет выявить зависимость результатов от определенных факторов при помощи коэффициента детерминации.

Этот коэффициент показывает долю (удельный вес) общей вариации изучаемого признака, обусловленную вариацией группировочного признака.

Корень квадратный из коэффициента детерминации носит название корреляционного отношения ():

Оно характеризует влияние признака, положенного в основание группировки, на вариацию результативного признака. Корреляционное отношение изменяется в пределах от 0 до 1. Если , то группировочный признак не оказывает влияния на результативный. Если , то результативный признак изменяется только в зависимости от признака, положенного в основание группировки, а влияние прочих факторных признаков равно нулю.

Показатели асимметрии и эксцесса. В области экономических явлений строго симметричные ряды встречаются крайне редко, чаще приходится иметь дело с асимметричными рядами.

В статистике для характеристики асимметрии пользуются несколькими показателями. Если учесть, что в симметричном ряду средняя арифметическая совпадает по значению с модой и медианой, то наиболее простым показателем асимметрии () будет разность между средней арифметической и модой, т.е. =.