что понимается под моделированием

Что такое модели и моделирование — 5 этапов моделирования, когда и какие модели применяются

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Что общего между девушкой на подиуме, игрушечной машинкой и изображением атома на экране монитора? Во всех случаях мы говорим о моделях.

Это понятие плотно вошло в повседневную речь, но немногие понимают его подлинное значение и умеют применять осознанно.

Без всякого занудства я расскажу о моделях и моделировании все, что нужно знать.

Что такое модель

Термин образовался от латинского слова modulus — «мера, аналог, образец».

Под «моделью» понимается образ некого объекта или явления, который отражает лишь отдельные свойства.

Например, глобус – это модель земного шара. Он статичен, а не вращается вокруг солнца. Не может похвастаться собственной силой притяжения. Не имеет атмосферы. На поверхности глобуса не живут крошечные человечки. Он воспроизводит внешний вид нашей планеты, не затрагивая другие характеристики.

Военачальник разрабатывает план сражения. Чтобы обозначить ландшафт, он создает модель поля боя на своем столе. Вот этот камень будет горой, коробок спичек – вражеским танком, а зеленый платок – лесом.

При моделировании важна степень соответствия модели и реального объекта.

Поставив камешек не туда, можно проиграть настоящую битву.

Но избыточная схожесть также вредит делу — усложняет процесс и отвлекает от сути.

Стратег слишком увлекся, потратил время на воспроизведение полной копии танка в миниатюре. Враг начал наступление, застал военачальника врасплох, пока тот собирал макет.

Американский словарь английского языка дает такое определение:

«Модель — это упрощенное описание сложного объекта или явления».

Земля имеет шарообразную форму, но для простоты говорят, что она круглая.

Моделирование — это.

Моделирование — это метод познания. Он заключается в исследовании предметов, систем, процессов и явлений на основе их моделей.

Вот мы возвели небоскреб в зоне с высокой сейсмической активностью. Теперь хотим выяснить, выдержит ли постройка толчки земной коры. Как это сделать? Проведем эксперимент: произведем подрыв, чтобы вызвать землетрясение. Если здание устоит — все хорошо.

Но вот проблема — затея дорогостоящая, может привести к человеческим жертвам, уничтожить сам предмет исследования. Гораздо проще создать модель небоскреба в компьютерной программе, задать силу виртуального землетрясения и проверить устойчивость, не вставая с дивана.

Что можно моделировать:

5 этапов моделирования

Процесс состоит из 5 этапов:

Исследователь выбирает те части, которые его интересуют, а остальные отбрасывает, чтобы не мешались. Один объект может иметь несколько моделей, каждая из которых отображает некоторые из его особенностей.

Например, мы хотим изучить человека:

Получаются 3 разных описания человека, которые только частично замещают оригинал.

Моделирование — это циклический процесс. Исследователь возвращается к самому началу, снова строит модель, но уже более точную.

С каждым кругом он получает все больше информации о предмете изучения.

Моделирование – это воссоздание и изучение фрагмента реальности для исследовательских целей.

Метод применяется, когда необходимо:

Когда применяется моделирование

Зачем экспериментировать с моделями, когда есть оригинал?

Существуют ситуации, когда без построения модели не обойтись:

Какие бывают модели (их виды)

По своему характеру они делятся на 2 вида: материальные и информационные.

Материальные модели можно потрогать, увидеть, услышать, понюхать. Они воспроизводят физические особенности изучаемой системы, явления или процесса.

Деревянный макет здания – это изделие, которое отражает некоторые свойства реальной постройки. Плюшевый мишка – упрощенное представление большого медведя. Маленький ребенок приходит в зоопарк и легко узнает в грозном животном прообраз своей игрушки.

Информационные модели не существуют в реальном мире. Это набор информации, выраженный определенным образом – вербальным или знаковым.

Примерами знакового обозначения могут быть математические формулы, схемы, графики и рисунки. Вербальное представление – это слова или мысли. Например, модель поведения при переходе регулируемого перекрестка: посмотреть на светофор, если горит зеленый человечек, нужно убедиться, что нет машин. Только потом можно идти.

Более подробно на эту тему смотрите в видео:

Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru

Эта статья относится к рубрикам:

Комментарии и отзывы (2)

Компьютерное моделирование вряд ли сможет заменить полноценный эксперимент с физической моделью, тем более, что программу пишут люди, а они могут ошибаться. На модели же можно проверить, к примеру, аэродинамические качества объекта, поместив уменьшенную копию в аэродинамическую трубу, чего нельзя сделать с реальным объектом, например, пассажирским самолётом. Потому модели будут существовать всегда.

Раньше и дети моделированием увлекались, самолеты небольшие конструировали, а сейчас только в компьютерные стрелялки играют.

Источник

Моделирование

Моделирование — это метод воспроизведения и исследования определённого фрагмента действительности (предмета, явления, процесса, ситуации) или управления им, основанный на представлении объекта с помощью его копии или подобия — модели (см. Модель). Модель обычно представляет собой либо материальную копию оригинала, либо некоторый условный образ, представленный в абстрактной (мысленной или знаковой) форме и содержащий существенные свойства моделируемого объекта. Процедуры создания моделей широко используются как в научно-теоретических, так и в прикладных сферах человеческой деятельности.

В научном познании (см. Наука) модель рассматривается как «объект-подобие» или «объект-заместитель» объекта-оригинала, воспроизводящий определённые его характеристики. В этом смысле модель всегда соответствует объекту-оригиналу — в тех свойствах, которые подлежат изучению, но в то же время отличается от него по ряду других признаков, что делает модель удобной для исследования изучаемого объекта. Результаты разработки и исследования моделей при определённых условиях, принимаемых в методологии науки и специфических для различных областей и типов моделей, распространяются на оригинал. Использование метода моделирования в научном познании диктуется необходимостью раскрыть такие стороны объектов, которые либо невозможно постигнуть путём непосредственного изучения, либо непродуктивно изучать их таким образом в силу каких-либо ограничений.

В научном познании возможны два способа моделирования:

Модели, применяемые в научном познании, разделяются на два больших класса:

Соответственно указанным различениям выделяют основные разновидности моделирования. Каждое из них применяется в зависимости от особенностей изучаемого объекта и характера познавательных задач.

Предметно-физическое моделирование широко используется как в научной практике, так и в сфере материального производства. Такое моделирование всегда предполагает, что модель должна быть сходна с оригиналом по физической природе и отличаться от него лишь численными значениями ряда параметров. Наряду с этим в практике научного исследования часто используется и такой вид моделирования, при котором модель строится из объектов иной физической природы, чем оригинал, но описывается одинаковой с ним системой математических зависимостей. В отличие от предметно-физического этот вид моделирования называют предметно-математическим. Предметная модель становится здесь объектом испытания и изучения, в результате которого создаётся её математическое описание. Последнее затем переносится на моделируемый объект, характеризуя его структуру и функционирование.

В развитой науке, особенно при переходе к теоретическим исследованиям, широко используется моделирование с применением идеальных моделей. Этот способ получения знаний об объектах может быть охарактеризован как моделирование посредством идеализированных представлений. Он является ведущим инструментом теоретического исследования. Активно используя модельные представления, научное исследование вместе с тем применяет и так называемое знаковое моделирование, которое основано на построении и испытании математических моделей некоторого класса явлений, без использования при этом вспомогательного физического объекта, который подвергается испытанию. Последнее отличает знаковую модель от предметно-математической. Такой вид моделирования иногда называют также абстрактно-математическим. Он требует построения знаковой модели, представляющей некоторый объект, где отношения и свойства объекта представлены в виде знаков и их связей. Эта модель затем исследуется чисто логическими средствами, и новое знание возникает в результате дедуктивного развёртывания модели без обращения к предметной области, на основании которой выросла данная знаковая модель. В абстрактно-математическом моделировании модель — это конструкция, изоморфная моделируемой системе. При таком моделировании каждому объекту системы ставится в соответствие определённый элемент моделирующей конструкции, а свойствам и отношениям объектов соответствуют свойства и отношения элементов.

Классическими примерами моделей, основанных на изоморфизме, являются модели аксиоматических систем в математике. Они задают семантику формальных построений и создают возможность для содержательной интерпретации аксиом. Сами аксиомы, как и следствия из них, считаются предложениями некоторого формального языка. Кроме того, задана область интерпретаций, представляющая собой множество индивидных объектов. Изоморфизм задаётся функцией, сопоставляющей каждому имени языка некоторый объект из заданного множества, а каждому выражению языка некоторое отношение объектов этого же множества. Если любое высказывание, которое выведено из аксиом, истинно в области интерпретаций (то есть соответствует реальным отношениям объектов), то эта область называется моделью системы аксиом. Моделирование в математике используется, например, для доказательства непротиворечивости формальных систем.

Этот вид моделирования используется не только в чистой математике, но также при математическом описании природных, общественных, технологических и других сложных систем. Смысл такого описания состоит в том, что отношения между элементами системы выражаются с помощью уравнений, причём так, чтобы каждому термину содержательного описания системы соответствовала какая-либо величина (константа или переменная) или функция, фигурирующая в уравнении. Сами уравнения называются при этом моделью. Как правило, абстрактно-математическое моделирование требует абстракции (см. Абстракция), то есть отвлечения от некоторых свойств и отношений в моделируемой системе. Это позволяет достичь общности модели и утверждать, что она, игнорируя частности, описывает достаточно широкий круг процессов или систем. К тому же без таких упрощений моделирование оказывается бессмысленным ( чрезмерной сложности модели) или вообще невозможным. Другим важным гносеологическим условием моделирования является измеримость всех описываемых объектов и отношений. Чтобы построить модель, необходимо найти их числовое представление. Всякий моделируемый процесс должен быть полностью охарактеризован с помощью параметров, поддающихся измерению.

Другая разновидность моделирования с применением идеальных моделей основана на понятии «чёрный ящик». Этим термином принято называть объект, внутренняя структура которого недоступна для наблюдения и о котором можно судить только по его внешнему поведению, в частности по тому, как он преобразует приходящие на вход сигналы. Если некоторая система слишком сложна, то нет смысла искать её математическое описание. Проще попытаться построить вместо неё другую систему, которая при заданных условиях будет вести себя точно так же. Такое моделирование часто используется при исследовании отдельных систем живых организмов с помощью компьютерной симуляции. Описать работу живого организма уравнениями крайне тяжело или вообще невозможно. Но возможно построить компьютерную схему, которая при подаче на вход определённого стимула давала бы на выходе реакцию, тождественную или близкую к реакции моделируемой системы. Если спектр совпадающих входных и выходных процессов достаточно широк, то можно ожидать, что построенная схема точно воспроизводит исследуемый объект.

Источник

Понятие модели и моделирования

Моделирование в научных исследованиях стало применяться еще в глубокой древности и постепенно захватывало все новые области научных знаний: техническое конструирование, строительство и архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию и, наконец, общественные науки. Постепенно стала осознаваться роль моделирования как универсального метода научного познания. Большие успехи и признание практически во всех отраслях современной науки получило моделирование в ХХ в. Термин «модель» широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений.

Модель – это описание или объект-заместитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение выбранных свойств оригинала в условиях, когда использование оригинала по тем или иным причинам невозможно.

Под моделированием понимается процесс построения, изучения и применения моделей. Моделирование является одной из форм отражения действительности. Моделирование тесно связано с такими категориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др. Процесс моделирования обязательно включает в себя и построение абстракций, и умозаключения по аналогии, и разработку научных гипотез. Главная особенность моделирования состоит в опосредованном познании с помощью объектов-заместителей. Модель выступает как своеобразный инструмент познания, который исследователь ставит между собой и объектом и с помощью которого изучает интересующий его объект. Понятие модели широко используется не только в науке и технике, но и в искусстве, и в повседневной жизни.

Возможности моделирования, то есть переноса результатов, полученных в ходе построения и исследования модели, на оригинал, основаны на том, что модель в определенном смысле отображает (воспроизводит, моделирует, описывает, имитирует) некоторые интересующие исследователя свойства объекта. Применительно к естественным и техническим наукам принято различать следующие виды моделирования:

Концептуальное моделирование. При таком моделировании совокупность уже известных фактов или представлений относительно исследуемого объекта или системы истолковывается с помощью некоторых специальных знаков, символов, операций над ними или с помощью естественного или искусственного языка.

Физическое моделирование. В этом случае модель и моделируемый объект представляют собой реальные объекты или процессы единой или различной физической природы, причем между процессами в объекте-оригинале и модели имеют место некоторые соотношения подобия, вытекающие из схожести физических явлений.

Структурно-функциональное моделирование. Моделями являются схемы (блок-схемы), графики, чертежи, диаграммы, таблицы, рисунки, дополненные специальными правилами их объединения и преобразования.

Математическое (логико-математическое) моделирование. Моделирование, включая построение модели, осуществляется средствами математики и логики.

Имитационное (программное) моделирование. Логико-математическая модель исследуемого объекта представляет собой алгоритм функционирования системы, реализованный в виде программного комплекса.

Перечисленные виды моделирования не являются взаимоисключающими и могут применяться при исследовании сложных объектов либо одновременно, либо в некоторой комбинации. Кроме того, в определенном смысле концептуальное и структурно-функциональное моделирование неразличимы, так как блок-схемы, конечно же, вполне можно считать специальными знаками с установленными операциями над ними.

Источник

Понятия модели и моделирования

Математические модели в науке как средство работы с информацией

Невозможно представить себе современную науку без широкого применения математического моделирования, суть которого состоит в замене исходного объекта его образом – математической моделью и дальнейшем изучении модели с помощью реализуемых на компьютерах вычислительно-логических алгоритмов. Этот метод сочетает в себе достоинства, как теории, так и эксперимента, поскольку работа не с самим объектом (явлением, процессом), а с его моделью дает возможность относительно быстро и без существенных затрат исследовать его свойства и поведение в различных ситуациях. В то же время вычислительные эксперименты с моделями объектов позволяют, опираясь на мощь современных вычислительных методов и технических средств информатики, подробно и глубоко изучать объекты в достаточной полноте, недоступной чисто теоретическим подходам.

Вышесказанное является актуальным в условиях постоянного роста требований к эффективности устройств, применяемых в системах передачи и обработки информации, к сокращению сроков исследования и разработки новых телекоммуникационных систем и сетей.

Моделирование можно рассматривать как замещение исследуемого объекта (оригинала) его условным образом, описанием или другим объектом, именуемым моделью и обеспечивающим близкое к оригиналу поведение в рамках некоторых допущений и приемлемых погрешностей. Моделирование обычно выполняется с целью познания свойств оригинала путем исследования его модели, а не самого объекта. Разумеется, моделирование оправдано в том случае когда оно проще создания самого оригинала или когда последний по каким-то причинам лучше вообще не создавать.

М. строится для достижения определенной цели, однако для одного и того же объ­екта можно построить, преследуя одну и ту же цель, разные модели. Поэтому можно считать, что М. некоторого объекта А (оригинала, прототипа) – это объект В, в каком-то отноше­нии подобный (аналогичный) оригиналу А, но отличающийся от него, вы­бранный или по­строенный, по крайней мере, для одной из следующих целей:

1) замена оригинала А моделью B в некотором реальном или воображаемом дейст­вии, ис­ходя из того, что В более удобна для осуществления этого действия в данных условиях (т.н. называемая модель-заместитель);

2) создание наглядного представления об объекте А (реально существующем или вообра­жаемом) с помощью объекта В (т.н. называемая модель-представление);

3) истолкование (интерпретация) объекта А в виде модели В (т.н. называемая мо­дель-ин­терпретация);

4) исследование (изучение) объекта А посредством изучения объекта В (т.н. назы­ваемая исследовательская модель).

Пример.1. В курсе математики представлены все перечис­ленные виды мо­делей. Так, уравне­ние, со­ставленное по условию текстовой задачи, вы­сту­пает как модель-заместитель исходной задачи; чер­теж некоторого геометрического объекта, построенный для доказательства утверждения, в кото­ром идет речь в этом утверждении, яв­ляется моде­лью-представлением рассматриваемого объекта; урав­нение (x–a) 2 + (y – b) 2 = R 2 является моделью-интерпретацией окружности.

М. обычно обладает не одним каким-либо признаком, соответствующим одной из указанных целей, а несколькими, и поэтому она пригодна, как правило, и для других целей. Например, модель-заместитель может использоваться и как модель-представ­ление, и как мо­дель-интерпретация, и как исследовательская модель. Так, модель-ин­терпретация окружно­сти вполне пригодна для исследования свойств окружности, а, значит, она является и моде­лью исследовательской.

Пример 2. В медицине многие лекарственные препараты, разрабатывае­мые для лечения людей, первоначально испытывают на животных, которые в этом случае и выступают в качестве модели че­ловека; моделью некоторой местности может служить географическая карта, пользуясь которой, мы получаем нужную нам информацию об этой местности; моделью прямолиней­ного равномерного движения служит уравнение s = v₀ +vt, исследование ко­торого дает воз­можность устанавливать ос­новные закономерности данного вида движения; моделью неко­торого предмета, явления, процесса или ситуации (как реальных, так и «вирту­альных») могут служить компьютерные программы, пре­доставляющие в распоряжение ис­следователя прак­тически неограниченные возможности для их изу­чения и прогнозирования развития; и т.п.

М. всегда является лишь ото­бражением оригинала, и она в каком-либо отношении должна быть не только удобна для изучения свойств исследуемого объекта, но и по­зволяет перенести по­лученные при этом знания на исходный объект. Например, когда в начальных школе учитель намеревается более наглядно продемонстрировать способ сложения нату­ральных чисел, то он использует для этого различные модели этих чи­сел: реальные пред­меты или их изображения, абак, русские счеты, и др. Многие дет­ские игрушки, пред­ставляющие собой модели реальных объектов (автомобилей, по­ездов, животных и т.п.), позволяют ребенку познавать определенные свойства окру­жающих его предметов.

М., полностью воспроизводящая оригинал, перестает быть моделью.

Существует ряд общих требований к моделям:

1. Адекватность – достаточно точное отображение свойств объекта;

2. Полнота – предоставление получателю всей необходимой информации об объекте;

3. Гибкость – возможность воспроизведения различных ситуаций во всем диапазоне изменения условий и параметров;

4. Трудоемкость разработки должна быть приемлемой для имеющегося времени и программных средств.

Моделирование – это процесс построения модели объекта и исследования его свойств путем исследования модели.

Таким образом, моделирование предполагает 2 основных этапа:

1. Разработка модели;

2. Исследование модели и получение выводов.

При этом на каждом из этапов решаются разные задачи и используются отличающиеся по сути методы и средства.

Метод моделирования во многих науках является средством, позволяющим ус­та­навли­вать более глубокие и сложные взаимосвязи между теорией и опытом и способ­ным заменить эксперимент.

Целый ряд исследований вообще невозможен без моде­лирования, по­тому, что:

а) эксперименты могут проводиться лишь на ныне существующих объектах, т.к. невоз­можно распространить эксперимент в область прошлого;

б) вмешательство в некоторые системы иногда имеет такой характер, что невоз­можно ус­тановить причины появившихся изменений (вследствие вмешательства или по другим при­чинам);

в) некоторые теоретически возможные эксперименты неосуществимы вследствие низ­кого уровня развития экспериментальной техники или ее высокой стоимости;

г) большую группу экспериментов, связанных с человеком, сле­дует отклонить по мо­рально-этическим соображениям.

Однако М. находит широкое применение не только из-за того, что может за­менить эксперимент.

Оно имеет большое самостоятельное значение и свои преимущества:

1. С помощью метода моделирования на одном комплексе данных можно разрабо­тать целый ряд различных моделей, по-разному интерпретировать исследуемое явле­ние, и вы­брать наи­более плодотворную из них для теоретического истолкования.

2. В процессе построения модели можно сделать различные дополнения к иссле­дуемой ги­потезе и получить ее упрощение.

3. В случае сложных моделей можно применять компьютерную технику.

4. Существует возможность проведения модельных экспериментов. И др.

На практике применяют различные методы моделирования. В зависимости от способа реализации, все модели можно разделить на два больших класса: физические и математические.

Математическое моделирование принято рассматривать как средство исследования процессов или явлений с помощью их математических моделей.

Под физическим моделированием понимается исследование объектов и явлений на физических моделях, когда изучаемый процесс воспроизводят с сохранением его физической природы или используют другое физическое явление, аналогичное изучаемому. При этом физические модели предполагают, как правило, реальное воплощение тех физических свойств оригинала, которые являются существенными в конкретной ситуации. Например, при проектировании нового самолета создается его макет, обладающий теми же аэродинамическими свойствами; при планировании застройки архитекторы изготавливают макет, отражающий пространственное расположение ее элементов. В связи с этим физическое моделирование называют также макетированием.

Очевидно, действительная польза от моделирования может быть получена только при соблюдении двух условий:

1. Модель обеспечивает корректное (адекватное) отображение свойств оригинала, существенных с точки зрения исследуемой операции;

2. Модель позволяет устранить перечисленные выше проблемы, присущие проведению исследований на реальных объектах

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ – приближенное описание ка­кого-либо явле­ния внешнего мира, выраженное с помощью математической сим­волики. Ма­тематиче­ские модели описываются с помощью средств самой математики: языка, понятий, отно­шений, теорий. В отличие от есте­ственнонауч­ных и гуманитарных дисциплин М.м. обычно не требует создания ма­териали­зованных объектов. Кроме то­го, если все дру­гие науки изу­чают модели, то ма­тематика изучает «модели моделей». Потому ее мате­риал в наилуч­шей степени соответствует задаче овладения методом моделиро­вания.

Примером М.м. достаточно сложно­го оригинала служит система уравне­ний (и не­равенств) в самом широком понимании. Система может содержать обыкновен­ные дифферен­циальные уравнения, уравнения в частных производных, интегральные уравнения, алгебраи­ческие и трансцендентные уравнения (и неравенства), набор ве­роятностно-статистических данных и т.д. К математическим моделям относят и про­граммы, составленные для ком­пьютеров, которые моделирую (отражают) оп­ределен­ные процессы, описанные средст­вами математики, положенными в основу ал­горит­мов.

В 80-х годах XX века появляются оригинальные работы в области глобального модели­рования в Советском Союзе. Группой ученых под руководством академика Н.Н. Моисеева в Вычисли­тельном Центре АН СССР была сделана попытка проанализировать математиче­скими мето­дами структуру международной конфликтной ситуа­ции. Основной вывод, кото­рый сле­довал из анализа составлен­ной модели, состоял в следующем. Несмотря на сложную зависи­мость целевой функции, общей для всех партнеров (функции риска ядерной войны), в дейст­виях участников конфликта, в такой сверх­сложной и сверхопасной ситуации, какой является гонка ядерных воо­ружений, существует взаимо­выгодный и эффективный компромисс.

МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ сводит исследование внешнего мира к мате­ма­тическим задачам.

Процесс математического моделирования состоит из четырех эта­пов:

1) формализации, т. е. перехода от реальной практической задачи (исследуемой си­туа­ции) к по­строению аде­к­ватной математической модели и формулировки на ее ос­нове абст­рактной математической задачи;

2) решения задачи путем преоб­разования модели (проведение математического иссле­дования), т.е. получение в результате анализа и исследования модели выходных данных (теоретических сведений);

3) интерпретации полученного результата, когда решение формальной математи­че­ской задачи исследуется на предмет его соответствия с исходной ситуацией, истол­ковыва­ется в терминах исходной ситуации и применяется к ней;

4) модернизации модели, т.е. построение новой более совершенной модели в связи с на­коплением данных об изучаемом объекте или процессе.

Пример 4. Разработка модели Сол­нечной системы. Наблюдения звездного неба, начавшиеся еще в глубокой древности, при­вели к тому, что из всего многообразия небесных светил были выде­лены планеты, которые и стали объектом изучения. Следующим ша­гом явилось изучение закономер­ностей их дви­жений, т.е. построение моделей и получение конкретных резуль­татов. Модели Солнеч­ной системы в процессе своего развития прошли через ряд усовершенствований по мере накоп­ления экспе­риментальных данных и развития науки. Первой была модель Птолемея, создан­ная во II веке нашей эры, исходила из положения, что планеты и Солнце совершают движе­ния вокруг Земли (т.н. геоцентриче­ская модель).

В XVI веке появилась модель Н. Коперника, принципи­ально отличающаяся от предыдущей, пола­гающая, что планеты вращаются вокруг Солнца по окружности (т.н. гелиоцен­три­ческая модель). Затем появи­лась модели И. Кеплера (начало XVII века), И. Ньютона (вторая поло­вина XVII века), описывающие движения пла­нет на ма­тематическом языке. Модель Ньютона, осно­ванная на законе всемирного тяготения, вполне удовлетворительно описывала движение известных планет и давала возможность вы­чис­лять их положение на небо­своде.

Но вот к 40-м годам XIX в. не­которые результаты этой мо­дели стали тоже не согласовываться с экспе­риментальными данными: наблюдаемое движе­ние Урана уклонялось от теоретически вычисляемого движения. Французский ученый-ас­троном У. Леверье расширил систему наблюдаемых планет новой гипотетической плане­той (он на­звал ее Нептуном) и, пользуясь новой математической моделью, определил все ос­нов­ные па­раметры этой планеты. В указанное время и на предсказанном им месте в 1846 году астро­номы убедились в реальном существовании еще одной планеты Солнечной сис­темы. По­добные вычисле­ния, сделанные П. Лоуэлом, при­вели в 1930 году к открытию де­вятой пла­неты, получившей название Плутон.

В ходе многовекового исторического развития математики сконст­руированы осо­бые мо­дели количественных отношений и пространственных форм ок­ружаю­щего мира. Это такие математические понятия, как число, функция, уравнение, гео­метриче­ская фигура и др. Хотя математическая модель и создается человеческим разумом, в даль­нейшем она во многих случаях становится предметом объективного изучения. Познавая ее свойства, мы тем самым познаем и свойства отраженной моделью реаль­но­стей, т.е. абст­рактные математические открытия обнаруживают ранее неизвестные свойства окружающего мира.

Например, представле­ние, что числа бывают только, скажем, до миллиарда (а дальше чисел нет!) прямым наблюдением вряд ли может быть опро­вергнуто. Только создание мате­матиками древности такого понятия нату­рального числа (такой модели), при ко­тором нату­ральных чисел оказывалось беско­нечно много, позволяет это сделать. С помощью модели геометрии Лобачевского че­ловечество пришло к пониманию искрив­ленности пространства, абстрактные функ­циональные зависимости дают возможность пред­сказывать развитие тех или иных процессов, модели геометрических тел позволяют на прак­тике определять количе­ст­венные характеристики окружающих нас предметов и т.д.

Для исследования существующих и построения новых моделей в математике раз­рабо­таны специальные методы. Среди них методы теории графов, теории вероятно­стей и математической статистики, математической логики и комбинаторики, ак­сио­матический метод, методы иссле­дования элементарных функций, решения уравнений, доказательства утверждений, построения геометрических фигур, измерения величин и т.д. Так, идеи метода моделирования находят свое примене­ние при решении тексто­вых задач: во-первых, само понятие текстовой задачи можно ввести, пользуясь поня­тием «модель», во-вторых, понятия мо­дели позволяет строго определить понятия «метода решения» и «способа решения» тексто­вой задачи.

В математике разработаны и особые методики использования на практике матема­тиче­ских моде­лей, например, приемы решения задач с помощью уравнений и систем уравнений, изучение различных явлений и процессов с помощью исследования соот­ветствующих функ­ций, графов, геометрических фигур и т.д.

Пример 5. Общеизвестно, что, разрезая конус плоскостями, не проходящими через его вершину, мы полу­чаем в сечении различные кривые: окружности, эллипсы, параболы, гиперболы (рис. 4.7). Их называют коническими сече­ниями. Еще древнегреческие ученые начали зани­маться изучением этих кривых, т.к. они встречаются в различ­ных явлениях природы и в че­ловече­ской деятельности (в астро­номии, в во­енном деле, в физики и т.п.). Однако лишь, ко­гда поя­вились уравнения конических сечений, полу­ченные методом координат, изучение этих кри­вых значительно продвинулось вперед, и были ре­шены многие задачи, связанные с ними. Так, И. Кеплер (1609 г.) открыл из наблюдений, а И. Ньютон (1687 г.) теоретически обосно­вал, что планеты и кометы Солнечной сис­темы движутся по этим кривым.

З.м. понятия «число». Понятие числа явля­ется одним из важнейших в математике и центральным понятием курса математики в на­чальной. Появившись в простейшем виде еще в первобытном об­ществе из потребностей счета, понятие числа совершенст­вова­лось на протяжении всего последующего развития человеческой цивилизации. В вузе сту­денты, в силу выбранной профессии, изучают большинство известных число­вых множеств, и они знают, что развитие понятия числа происходило под влиянием двух факторов: прак­тиче­ской деятельности человека и внутренних потребностей ма­тематики. В процессе обучения у них формируется представление о том, что бывают порядковые числа, ко­личественные числа, числа как меры величин и числа как ком­понент вычислений.

Системы счисления и нумерации – это способы знаково-сим­воличе­ского модели­рования натуральных чисел. Например, любое натуральное число s в десятич­ной сис­теме счисления можно представить в виде:

Геометрия Лобачевского, не получившая признания при жизни ее автора, стала из­вест­ной только после того, как появилась ее первая модель.

Можно показать, что на этой модели выполняются все аксиомы геометрии Евклида кроме ак­сиомы IV о па­раллельных. Вместо нее выполняется аксиома Лобачевского: «Через точку вне прямой проходит более одной прямой, не пересекающей данную». На рис 9а через точку O проходят три «прямые» d₁, d₂ и d₃, параллельные «прямой» a.

Наличие моделей доказывает, что сис­тема ак­сиом Лобачевского является непро­тиворечивой.

Построение моделей геометрий Евклида и Лобачевского позволило решить про­блему 2000-летней дав­ности: можно ли доказать аксиому о параллельных, т.е. вы­вести ее из дру­гих аксиом? Те­перь ясно, что нельзя, потому что эта аксиома не зави­сит от остальных ак­сиом. Независи­мость вытекает из того факта, что после замены аксио­мы параллельности Евклида на ак­сиому параллельности Лобачевского мы вновь получаем непротиворечивую си­стему аксиом.

Открытие неевклидовой геометрии показывает, что появление новых математиче­ских мо­делей нередко означает не только принципиальный поворот в развитии самой математики, но и меняет существующие знания об окружающем нас мире.

МОДЕЛИ В ОБУЧЕНИИ. Модели помимо всего прочего являются тем учебным средством, без кото­рого невоз­можно полно­цен­ное обучение. На уроках математике в начальной школе находят применение как материальные, так и идеальные модели. К ним относятся, например, наглядные пособия, которые воспроизводят реальные и идеальные объекты, передают их структуру, существенные свойства, связи и от­ноше­ния, допуская при этом уменьшение или увеличение раз­мера, схематическое изобра­же­ние. По способу предъявления учащимся такие модели делятся на демонстрацион­ные и раз­даточные (индивидуальные).

Источник