что представляет собой первая группа аксиом в учебнике геометрии погорелова

Реализация аксиоматического подхода у А.В. Погорелова

Возьмем за основу введенные в пункте 1.3. аксиомы евклидовой геометрии и сравним с ними аксиомы, вводимые А. В. Погореловым, обращая внимание на порядок их введения.

А. В. Погорелов начинает учебник со свойств принадлежности точек и прямых, аксиома 11 (хотя здесь А. В. Погорелов не называет это аксиомами, а называет свойствами принадлежности точек и прямых): какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей. [24, с. 4]

Видно, что первая аксиома у А. В. Погорелова это аксиома 14 сформулированная для плоскости. Подобное начальное уточнение аксиом с пространства на плоскость связанно с тем, что учебник разделен на два раздела: планиметрию и стереометрию. В стереометрии А. В. Погорелов доопределяет введенные раньше аксиомы.

Аксиома 12: Через любые две точки можно провести прямую и только одну. Эта аксиома эквивалентна аксиоме 11

Следующим шагом введения аксиом у А. В. Погорелова является введение основных свойств расположения точек на прямой и на плоскости.

Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими. Эта аксиома является аксиомой порядка 21 ;

Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости;

Каждый отрезок имеет определенную длинны, большую нуля. Длинна отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой;

32 Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180 . Градусная мера угла, равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами. [24]

Свойства откладывания отрезков и углов

На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один;

. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньше 180 , и только один;

. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полу прямой. [24 с 10].

Свойство параллельных прямых.

5 Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной [24 c 13].

Свойства 32 и 42 не являются аксиомами, это технические правила вводящие, способ измерения углов.

Аксиомы о построении углов и отрезков являются следствиями аксиом движения.

С1 Какова бы не была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки не принадлежащие ей;

C2 Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой;

C3 Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну [24 c 181].

Введя три аксиомы стереометрии, А. В. Погорелов предлагает уточнить аксиомы планиметрии для бесконечного числа плоскостей. При таком уточнении аксиомы принимают вид:

Прямая, принадлежащая плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости.

42. От полупрямой на содержащей ее плоскости в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей , и только один.

каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в данной плоскости в заданном расположении относительно данной полупрямой в этой плоскости.

На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не боле одной прямой, параллельной данной.[24 с 181]

После введения аксиом планиметрии, называя их основными свойствами, А. В. Погорелов проясняет понятия теоремы и доказательства. «Правильность утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры устанавливается путем рассуждения. Это рассуждение называется доказательством. Предположение, выражающее свойство геометрической фигуры, которое доказывается, называется теоремой» [24, с. 13].

Предлагается разобрать эти понятия на примере теоремы: «если прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекает одну из его сторон, то она пересекает только одну из двух других сторон» [24 с 14]. Только после доказательства теоремы автор говорит, что «утверждения, содержащиеся в формулировках основных свойств простейших фигур, не доказываются и называются аксиомами. Слово «аксиома» происходит от греческого слова аксиом и означает утверждение не вызывающее сомнений» [24 c 14].

В следующем абзаце вводятся «правила» аксиоматического метода. А. В. Погорелов пишет «при доказательстве теорем разрешается пользоваться основными свойствами простейших фигур, т.е. аксиомами, а также свойствами уже доказанными, т.е. доказанными теоремами. Никакими другими свойствами фигур, даже если они нам кажутся очевидными, пользоваться нельзя» [24, с. 15].

К концу первой главы введены все основные аксиомы Евклидовой геометрии, описаны все теоретические понятия, которые используются в геометрии, и приведены соответствующие примеры.

А. В. Погорелов не говорит и не дает представления о возможности разных интерпретаций свойств в разных теориях. Введя аксиомы таким способом, А. В. Погорелов сразу говорит о свойствах фигур. Аксиома, заданная как свойство, уже не может быть интерпретирована в другой теории, уже невозможно провести соответствие с реальным миром.

А. В. Погорелов не дает возможность интерпретации аксиом как свойств простейших фигур, в следствии чего возникает убеждение, что аксиомы прямо соответствуют свойствам.

После сравнения аксиом, введенных А. В. Погореловым, с аксиомами евклидовой геометрии рассмотрим несколько примеров введения понятий.

Предварительно стоит уточнить, что одним из основных правил составления А. В. Погореловым учебника, является правило использование уже известных и доказанных ранее фактов. Листая учебник можно уточнить это правило. «Используемые понятия должны быть введены «недавно, рядом», лучше, если в этой же главе.

Рассмотрим примеры введения понятий в учебнике А. В. Погорелова с точки зрения аксиоматического подхода и нашего уточнения.

. Параграф 4 главы 1 «Планиметрия» называется «Сумма углов треугольника». Первое, что мы видим в этой главе «признаки параллельности прямых». У школьников и у студентов, критикующих учебник часто возникает вопрос: «Причем здесь признаки параллельности прямых?».

В поисках ответа на этот вопрос листаем дальше. Следующий пункт этой главы «Сумма углов треугольника». Вот и ответ.

Для доказательства теоремы о том, что сумма углов треугольника равна 180 , нужны знания о параллельных прямых и сумме внутренних накрест лежащих углов, которые вводятся в пункте «признаки параллельности прямых».

А. В. Погорелов решил проблему «недостающих знаний», введя их непосредственно перед необходимостью использовать.

Разобрав структуры с точки зрения аксиоматического подхода становиться заметной необходимость такого строения. Ученик не может восстановить замыслы автора, поэтому для него подобные вставки остаются безосновательными. На наш взгляд, такое построение учебника приводит к тому, что у ученика к концу школы складывается четкое непонимание геометрии.

Какое отношение имеет понятие окружность к параграфу про построение? Самое прямое. Все построения, так или иначе, связаны с понятием окружности, а оно еще не было введено, следовательно, с точки зрения из аксиоматического подхода, пользоваться им нельзя. Конечно нельзя, но ввести то можно. Теперь, когда введено понятие окружности, объяснения построений становиться возможным.

. Параграф 7 «Теорема Пифагора». Первый пункт параграфа «Косинус угла» (приложение 1). Это понятие введено в связи с иго использованием в доказательстве теоремы Пифагора.

Через два пункта в этом же параграфе идет пункт «Как пользоваться таблицами синусов, косинусов и тангенсов», затем «Основные тригонометрические тождества», «Значение синусов, косинусов и тангенсов некоторых углов», «Изменение при возрастании угла ». Можно было вынести в отдельную главу все тригонометрию, и лишь потом сделать главу «Теорема Пифагора», тогда бы не пришлось такой важный материал вводить как дополнение к другому.

Следующий подобный пример встречается уже в 10 параграфе «Векторы на плоскости». Первым пунктом этого параграфа является пункт «Параллельный перенос и его свойства» при чем здесь векторы не понятно. Листая дальше эту главу понятно, что без этого понятия невозможно ввести операции над векторами. Таким образом происходит искусственное доворачивание теории учебника, до аксиоматического метода. Искусственное потому, что вводимая теория не отвечает ни на какой вопрос, а наоборот делает так, что бы вопросов ни возникало.

. §12 «Многоугольники». Название подразумевает введение понятия многоугольника и операции с ним. На деле первые пункт параграфа «Ломаная», понятия которой нам понадобиться для введения понятия многоугольник.

Последние два пункта этого параграфа «Длина окружности» и «Центральный угол и дуга окружности». Студент еще может восстановить логику введения материала, а для школьника она остается скрытой и, как видно из студенческих работ, не принимаемой.

. Подобное введение теории встречается также в §16 «Перпендикулярность прямых и плоскостей» в последний пункт «Расстояние между скрещивающимися прямыми»

Приведенные примеры иллюстрируют реализацию аксиоматического метода у А. В. Погорелова.

Источник

Сравнительный анализ аксиоматики школьного курса по учебнику Погорелова и аксиоматики Давида Гильберта

Система аксиом Гильберта. Аксиоматика школьного курса по учебнику Погорелова. Основное назначение группы аксиом непрерывности. Аксиомы меры для углов и отрезков. Аксиома существования треугольника, равного данному. Аксиома о параллельных Н. Лобачевского.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

аксиома школьный учебник геометрия теорема

1. Аксиоматика школьного курса по учебнику геометрии А.В. Погорелова

2. Система аксиом Гильберта

3. Сравнительный анализ аксиоматики школьного курса по учебнику Погорелова и аксиоматики Давида Гильберта

4. Чем заменил Лобачевский одну из аксиом Евклида

Вся школьная геометрия построена на аксиоматическом методе. Впервые этот метод был введён Евклидом в его знаменитом трактате «Начала». В течение 2000 лет его аксиомы исследовались и дополнялись. Изначально было доказано, что система аксиом Евклида является спорной, неточной. Одним из таких знаменитых математиков был Давид Гильберт. Он внёс значительные перемены как в аксиоматику Евклида, так и математику вообще. Задачей этой работы является сравнить аксиоматику Гильберта и аксиоматику любого школьного учебника. Мы берем школьный учебник геометрии А.В. Погорелова. Но также для нас важен ответ на вопрос: а зачем вообще учителю знать аксиоматику Давида Гильберта, разве не достаточно следовать школьному курсу аксиом по тому или иному учебнику?

1. Аксиоматика школьного курса по учебнику геометрии Погорелова А.В.

В книге Погорелова А.В. геометрия опирается на следующие аксиомы:

Аксиомы планиметрии (7-9 класс):

1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

2. Из трёх точек на данной прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

3. Каждый отрезок имеет определённую длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин его частей, на которые он разбивается любой его точкой.

4. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

5. Каждый угол имеет определённую градусную меру, большую нуля. Развёрнутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

6. На любом луче от его начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.

7. От любого луча в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.

8. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данного луча.

9. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

Аксиомы стереометрии (10-11 класс):

1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

2. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

3. Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.

2. Система аксиом Гильберта

Аксиомы этой группы описывают свойства взаимного расположения точек, прямых и плоскостей.

I_1. Каковы бы ни были две точки A и B, существует прямая a, проходящая через эти точки.

I_2. Каковы бы ни были две точки A и B, существует не более одной прямой, проходящей через эти точки.

I_3. На каждой прямой лежит, по крайней мере, две точки. Существует, по крайней мере, три точки, не лежащие на одной прямой.

I₅. Каковы бы ни были три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, существует не более одной плоскости, проходящей через эти точки.

I_8. Существуют, по крайней мере, четыре точки не лежащие в одной плоскости.

Вторая труппа аксиом описывает основные свойства неопределяемого отношения «лежать между» для точек, расположенных на одной прямой.

II_2. Для любых двух точек А и С на прямой (АС) существует, по крайней мере, одна точка В такая, что точка С лежит между точками А и В.

Аксиома II₄ называется аксиомой Паша

Основное назначение этой группы аксиом состоит в том, чтобы ввести длину отрезка и величину угла, а также описать свойства непрерывности расположения точек на прямой.

V. Даны: прямая а и, не принадлежащая ей, точка A. В плоскости, определяемой прямой а и точкой A, существует не более одной прямой, проходящей через точку A и параллельной прямой а.

3. Сравнительный анализ аксиоматики школьного курса геометрии по учебнику А.В. Погорелова и аксиоматики Давида Гильберта

Также в аксиоматике можно выделить отношения между основными понятиями. Школьный курс: точка принадлежит прямой (прямая проходит через точку), точка принадлежит плоскости (плоскость проходит через точку), прямая лежит на плоскости, точка лежит между двумя другими точками. Аксиоматика Гильберта: принадлежность, лежать между, «конгруэнтность» (Две фигуры называются конгруэнтными, если одна из них может быть переведена в другую при помощи движения).

Прежде чем приступить к подробному анализу данных аксиом хотелось бы отметить что в школьном курсе объяснение аксиом даётся практическим путём: построили, увидели что больше никаких вариантов построения нет и всё. Таким же образом решаются и задачи данного курса. В аксиоматике Гильберта подразумевается наличие множества точек, множества прямых и множества плоскостей. Если есть две точки, то к ним обязательно «прибежит» прямая из множества прямых. Появились три точки? Значит к ним уже «спешит» плоскость из множества плоскостей. Аксиомы даются на «чистой» логике и последующие задачи решаются логическим путём. В системе аксиом Гильберта выделены некоторые группы аксиом, попробуем разбить на группы и аксиоматику Погорелова.

1. Аксиомы принадлежности.

1.1 Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.

1.2 Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

2.1 Из трёх точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

2.2 Прямая, лежащая в плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекает прямую.

3. Аксиомы меры для углов и отрезков.

3.1 Каждый отрезок имеет определённую длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

3.2 Каждый угол имеет определённую градусную меру, большую нуля. Развёрнутый угол равен 180 градусов. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

3.3 Каково бы ни было вещественное число d большее нуля, существует отрезок длины d.

4. Аксиома о существовании треугольникa, равного даннoму.

4.1 Какoв бы ни был треугoльник, существует рaвный ему треугoльник в даннoй плоскoсти в задaнном распoложeнии относительнo даннoй полупрямoй в этой плoскости.

5. Аксиома о параллельных прямых.

5.1 На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

6. Аксиомы стереометрии.

6.1 Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки не принадлежащие ей.

6.2 Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

6.3 Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.

Замечание: Аксиомы групп 1-5 (планиметрия) и аксиомы группы 6 (стереометрия) представляют собой группу аксиом стереометрии.

В каждой из данных аксиоматик выделены несколько групп аксиом. Школьный курс геометрии, А.В.Погорелов:

1. Аксиомы принадлежности (2).

2. Аксиомы порядка (2).

3. Аксиомы меры для отрезков и углов (3).

4. Аксиома существования треугольника, равного данному (1).

5. Аксиома параллельных (1).

6. Аксиомы стереометрии (3).

1. Аксиомы принадлежности (8).

2. Аксиомы порядка (4).

3.Аксиомы конгруэнтности (5).

4. Аксиомы непрерывности (2).

5. Аксима параллельности (1).

Замечание: Изначально у Гильберта существовала 21 аксиома, в 1902 году Э.Х. Мур доказал что она является избыточной.

Рассматривая аксиомы первой группы Гильберта мы увидели, что с их помощью можно доказать несколько теорем, которые в школьном курсе берутся без доказательства, как очевидные.

1. Две прямые имеют не более одной общей точки.

2. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих двух плоскостей.

3. Через прямую и не лежащую на ней точку, так же как через две пересекающиеся прямые, проходит одна и только одна плоскость.

4. На каждой плоскости существуют три точки, не лежащие на одной прямой.

Имея аксиомы первой и второй группы мы можем доказать многие факты геометрии, с их помощью вводятся ряд определений. Уже можно доказать что между любыми точками существует хотя бы одна точка, а следовательно и любой отрезок (прямая) содержит бесконечное множество точек. Но с помощью этих теорем нельзя доказать что это множество точек нельзя сосчитать. Можно также доказать, что аксиома Паша верна и в том случае когда точки А, В, С лежат на одной прямой, а также если прямая пересекает какие-либо два отрезка из трёх отрезков то она не пересекает третий отрезок. С помощью аксиомы 2.3 можно доказать из трёх точек прямой одна всегда лежит между двумя остальными.

Аксиомы первой и второй группы позволяют ввести понятия полуплоскости, полупространства и луча.

С помощью аксиом конгруэнтности (третья группа) можно доказать следующие теоремы из школьного курса:

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

2. Признаки равенства треугольников.

3. В каждом треугольнике против большей стороны лежит больший угол и обратно: против большего угла лежит большая сторона.

4. Любой отрезок имеет одну и только одну середину. и т.д.

Заметим также, что Гильберт сделал признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними аксиомой 3.5. В аксиоматике школьного курса этот постулат принято доказывать(впервые доказал Хр.Вольф) а у Гильберта это следует из аксиом конгруэнтности. В школьном курсе признаки равенства треугольников доказываются методом «наложения», как изначально предлагал Евклид.

Теорема 1: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема 2: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема 3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

2) луч СС₁ совпадает с одной из сторон этого угла;

Теорема 1. Если у двух треугольников ABC и A’B’C’ имеем АВ=А’В’, АС=А’С’, А=А’, ДАВС=А’В’С’.

По аксиоме III. 5. имеем С=С’, а также В=В’. Остается доказать, что ВС=В’С’. Предположим, что ВС?В’С’. По аксиоме III. 1. на луче В’С’ существует такая точка D, что ВС=В’D. Тогда для ДАВС и ДА’В’С’ имеем: АВ=А’В’, ВС=В’D, В=В’, а потому по аксиоме III. 5.ВАС=В’А’D’. Но по условию АВС=А’В’С’. т.е. по одну сторону луча А’В’ существуют два разных луча АС и А’D, такие, что ВАС=В’А’С’ и ВАС=В’А’D’, что противоречит аксиоме III. 4.. Следовательно, ВС=В’С’ и ДАВС= ДА’В’С’. ч.т.д.

Теорема 2. Если у двух треугольников ДАВС и ДА’В’С’, у которых АВ= А’В’_, А=А’, В=В’, то ДАВС=ДА’В’С’

Надо доказать, что АС =А’С’, ВС =’В’С’ и С=С’. предположим, что АС не равно А’С’. по аксиоме III.1. на луче А’С’ существует такая точка D, что АС =А’D. тогда (по теореме Первый признак конгруэнтности) ДАВС=ДА’В’D. Но в таком случае В= А’В’D, в то же время ВС= А’В’С’, т.е. получаем противоречие с аксиомой III.4. Следовательно, АС=А’С’. отсюда по первому признаку конгруэнтности ДАВС=ДА’В’С’. Ч.т.д.

Теорема 3. Если у треугольников ДАВС и ДА’В’С’ АВ= А₁В_1, АС=А’С’, АВ=А’В’, ВС=В’С’, то ДАВС=ДА’В’С’.

По учебнику Погорелова аксиомы 2.2, 3.2, 4.1, 5.1 требуют уточнений и доказательства (В планиметрии рассматривается одна плоскость, а в стереометрии плоскостей бесконечно много).

1. Прямая, принадлежащая плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости.

2. От полупрямой на содержащей её плоскости в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180 градусов, и только один.

3. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в данной плоскости в заданном расположении относительно данной полупрямой в этой плоскости.

4. На плоскости через данную точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

Аксиому 1.2 мы выделили также потому, что здесь она дается как аксиома без доказательства. А у Давида Гильберта её можно доказать лишь после введения аксиом первой и второй групп.

Аксиому Гильберта о том, что: «Если две различные точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости » в школьном курсе геометрии Погорелова рассматривают как теорему.

В принципе Погорелов предлагает более-менее разработанную систему аксиом, нет только некоторых деталей и очень трудных для школьников (возрастные особенности развития) аксиом непрерывности.

Аксиомы геометрии не подбираются произвольно, к ним предъявляются требования независимости, полноты и непротиворечивости. Приведённая выше система аксиом Погорелова удовлетворяет всем требованиям, что доказал сам Погорелов.

Аксиома о параллельных Н.И. Лобачевского.

В пятой группе аксиом Евклида всего одна аксиома о параллельных или пятый постулат Евклида: через точку на плоскости можно провести только одну прямую, не пересекающую данную прямую. В отличие от всех остальных аксиом эта звучит более сложно, и на протяжении 2000 лет многие учёные пытались доказать эту аксиому. Аксиому о параллельных Н.И. Лобачевский заменил аксиомой: Пусть в данной плоскости дана прямая и лежащая вне прямой точка. Через эту точку можно провести к данной прямой, по крайней мере, две параллельные прямые. Далее он вывел собственную систему аксиом. В наше время недоказуемость пятого постулата Евклида является строго доказанным математическим фактом. К этому выводу в 19 веке почти одновременно пришли и создали неевклидову геометрию три великих математика: Николай Иванович Лобачевский (1792-1856), Карл Фридрих Гаусс (1777-1855), Янош Бойяи (1802-1860).

Когда мы впервые пришли на занятия по математике в институте наш преподаватель сказал: «- Забудьте всё, что вы изучали в школе. Мы начинаем изучать «настоящую» математику». Рассматривая аксиоматики различных авторов мы в очередной раз в этом убедились. Проведя сравнительный анализ аксиоматики Гильберта и школьного курса геометрии по учебнику Погорелова, мы пришли к следующим выводам: будущим учителям необходимо знать аксиоматику Гильберта, чтобы получить ясное представление о строго научном построении геометрии на точно определённой аксиоматической базе. Мы увидели на данном примере насколько отличается школьный курс геометрии от строго логического изложения геометрии. Мы увидели, что целый ряд утверждений, которые тщательно доказываются в геометрии, в школе принимаются без доказательства. Таковы, к примеру, предложения о том, что точка делит прямую на два луча, что прямая делит плоскость на две полуплоскости, что прямая содержит бесконечное множество точек, что простой многоугольник делит плоскость на внутреннюю и внешнюю области, что внутренний луч, выходящий из вершины треугольника, пересекает противоположную сторону треугольника и т.д. Школьный курс геометрии по необходимости приспособляется к возрастным особенностям учеников, их психологическим особенностям, мы думаем, именно поэтому в школе преподносят больше описательную версию геометрии, а не строго логический курс геометрии с чёткими определениями. Нам же необходимо знать «точную» геометрию, чтобы не следовать «вслепую» за учебником, ведь сложно чему-то научиться, если даже учитель не понимает о чём идёт речь. Закончить бы хотелось такими словами:

1. Энциклопедия элементарной математики, т. 4 Геометрия. М. 1963.

2. А.Д. Александров. Основания геометрии. М.: Наука, 1987.

3. А.В. Погорелов. Геометрия. М.: Наука, 1983.

4. Д.И. Перепелкин. Курс элементарной геометрии, ч. II. М.: 1949.

5. Л.С. Атанасян и др. Геометрия 10-11. Учебник для 10-11 классов средней школы. М.: Просвещение, 1992.

6. И.М. Смирнова, В.А. Смирнов. Геометрия. Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 2001.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Изучение истории развития геометрии, анализ постулатов Евклида, аксиоматики Гильберта, обзор других систем аксиом геометрии. Характеристика неевклидовых геометрий в системе Вейля. Элементы сферической геометрии. Различные модели плоскости Лобачевского.

дипломная работа [245,5 K], добавлен 13.02.2010

Аксиомы линейного векторного пространства. Произведение любого вектора на число 0. Аксиомы размерности, доказательство теоремы. Дистрибутивность скалярного произведения векторов относительно сложения векторов. Требования, предъявляемые к системе аксиом.

реферат [80,9 K], добавлен 28.03.2014

Биография русского ученого Н.И. Лобачевского. Система аксиом Гильберта. Параллельные прямые, треугольники и четырехугольники на плоскости и пространстве по Лобачевскому. Понятие о сферической геометрии. Доказательство теорем на различных моделях.

реферат [564,5 K], добавлен 12.11.2010

Теоретические основы аксиоматики Вейля. Непротиворечивость и категоричность аксиоматики Вейля, прямая, плоскость. Аксиоматика Вейля и школьная геометрия. Задачи, решаемые векторным способом. Виды задач о прямых и плоскостях, их решение и доказательство.

дипломная работа [673,4 K], добавлен 11.12.2012

Обзор пяти групп аксиом, на которых зиждется планиметрия Лобачевского. Сущность модели Кэли-Клейна в высшей геометрии. Особенности доказательства теоремы косинусов, теорем о сумме углов треугольника, о четвертом признаке конгруэнтности треугольников.

курсовая работа [629,3 K], добавлен 29.06.2013

Сущность планиметрии как науки о свойствах точек и прямых на плоскости. Понятие точки, прямой и плоскости, принятие утверждений без доказательств. Особенности построения и содержание аксиом принадлежности, измерения, параллельности, откладывания.

презентация [77,7 K], добавлен 12.04.2012

Модель Пуанкаре геометрии Лобачевского: вопрос о ее непротиворечивости. Инверсия, ее аналитическое задание. Преобразование окружности и прямой, сохранение углов при инверсии. Инвариантные прямые и окружности. Система аксиом геометрии Лобачевского.

дипломная работа [1,3 M], добавлен 10.09.2009

Источник