что представляет собой сечение конуса проведенное плоскостью перпендикулярно оси

Сечения прямого кругового конуса плоскостью

Сечением конуса называют пересечение конуса с плоскостью.

Основные виды сечений прямого кругового конуса плоскостью представлены на Рис.14.

1. Осевое сечение – это пересечение конуса плоскостью, проходящей через ось конуса.

Результатом осевого сечения будет равнобедренный треугольник, две равные стороны которого – образующие конуса, а третья сторона этого треугольника – диаметр основания конуса.

Через ось конуса можно провести бесконечное множество осевых сечений.

Все равнобедренные треугольники, полученные в результате осевого сечения – равны.

Сечение плоскостью, проходящей через вершину конуса и хорду круга основания.

Результатом сечения будет также равнобедренный треугольник, две равные стороны которого – образующие конуса, а третья сторона – хорда круга основания.

Сечение конуса плоскостью, перпендикулярной оси конуса.

В сечении будет всегда – круг. Диаметр полученного круга будет всегда меньше диаметра основания конуса.

Сечение плоскостью, которая расположена под углом к оси конуса и пересекает все образующие конуса.

В сечении будет эллипс.

Часть тела вращения между основанием и плоскостью сечения называется усеченным конусом.

Сечение плоскостью, которая проходит под углом к оси конуса и пересекает часть образующих конуса и его основание.

В сечении будет парабола.

Сечение плоскостью, которая проходит параллельно оси конуса, пересекая образующие и основание конуса.

В сечении будет гипербола.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

1. Изучить материал представленной темы.

2. Выучить материал темы. Знать определения, свойства формы сечений тел вращения и др.

3. Представленный материал темы законспектировать в тетрадь по математике.

4. Выполнить тесты, записав их в тетрадь по математике.

5. Фото/скан конспекта и выполненных тестов переслать преподавателю на страницу в контакте.

Выучив материал, ответить на вопросы двух тестов.

Источник

Что такое сечение конуса? Как найти площадь осевого сечения конуса

Одной из фигур, которая встречается при решении геометрических задач в пространстве, является конус. Он, в отличие от многогранников, относится к классу фигур вращения. Рассмотрим в статье, что понимают под ним в геометрии, и исследуем характеристики различных сечений конуса.

Конус в геометрии

Предположим, что имеется некоторая кривая на плоскости. Это может быть парабола, окружность, эллипс и так далее. Возьмем точку, которая указанной плоскости не принадлежит, и соединим с ней все точки кривой. Образованная поверхность называется конической или просто конусом.

Вам будет интересно: Что такое конус: определение. Основание, вершина, высота конуса

Если исходная кривая является замкнутой, тогда коническую поверхность можно заполнить веществом. Полученная таким образом фигура является объемным телом. Она также называется конусом. Несколько конусов, изготовленных из бумаги, показаны ниже на рисунке.

Коническая поверхность встречается в обычной жизни. Например, этой формой обладает мороженое-рожок или дорожный полосатый конус, который призван привлечь внимание водителей и пешеходов.

Виды конусов

Вам будет интересно: Подберем рифму к слову «капля»

Второй важной их характеристикой является положение высоты относительно основания. Высотой конуса называется прямой отрезок, который опущен из вершины фигуры к плоскости основания и перпендикулярен этой плоскости. Если высота пересекает в геометрическом центре основание (например, в центре круга), то конус будет прямым, если перпендикулярный отрезок падает в любую другую точку основания или за его пределы, то фигура будет наклонной.

Далее в статье будем рассматривать только круглый прямой конус как яркий представитель рассматриваемого класса фигур.

Геометрические названия элементов конуса

Выше было сказано, что конус имеет основание. Оно ограничено окружностью, которая называется направляющей конуса. Отрезки, соединяющие направляющую с точкой, не лежащей в плоскости основания, называются образующими. Совокупность всех точек образующих называется конической или боковой поверхностью фигуры. Для круглого прямого конуса все образующие имеют одинаковую длину.

Вам будет интересно: Абашевская культура бронзового века: локализация, археологические находки

Точка, где образующие пересекаются, называется вершиной фигуры. В отличие от многогранников, конус имеет единственную вершину и не имеет ни одной грани.

Прямая линия, проходящая через вершину фигуры и центр круга, называется осью. Ось содержит в себе высоту прямого конуса, поэтому она с плоскостью основания образует прямой угол. Эта информация важна при вычислении площади осевого сечения конуса.

Рассматриваемый конус является достаточно симметричной фигурой, которую можно получить в результате вращения треугольника. Предположим, что имеется треугольник с прямым углом. Чтобы получить конус, достаточно вращать этот треугольник вокруг одного из катетов так, как показано на рисунке ниже.

Видно, что ось вращения является осью конуса. Один из катетов будет равен высоте фигуры, а второй катет станет радиусом основания. Гипотенуза треугольника в результате вращения опишет коническую поверхность. Она будет образующей конуса.

Указанный способ получения круглого прямого конуса удобно использовать для изучения математической связи между линейными параметрами фигуры: высоты h, радиуса круглого основания r и направляющей g. Соответствующая формула следует из свойств прямоугольного треугольника. Она приведена ниже:

Поскольку мы имеем одно уравнение и три переменных, то это означает, что для однозначного задания параметров круглого конуса необходимо знать две любые величины.

Сечения конуса плоскостью, которая не содержит вершину фигуры

Вопрос построения сечений фигуры не является тривиальным. Дело в том, что форма сечения конуса поверхностью зависит от взаимного расположения фигуры и секущей.

Предположим, что мы пересекаем конус плоскостью. Какое сечение получится в результате этой геометрической операции? Варианты формы сечения показаны на рисунке ниже.

Розовое сечение является кругом. Оно образовано в результате пересечения фигуры плоскостью, которая параллельна основанию конуса. Это сечения перпендикулярно оси фигуры. Образованная выше секущей плоскости фигура представляет собой конус, подобный исходному, но имеющий круг меньшего размера в основании.

Синее и оранжевое сечения имеют форму параболы и гиперболы, соответственно. Как видно из рисунка, они получаются, если секущая плоскость одновременно пересекает боковую поверхность и основание фигуры.

Сечения, содержащие вершину конуса

Теперь рассмотрим варианты сечений, которые возникают, если секущая плоскость будет проходить через вершину конуса. Возможны три случая:

Очевидно, что площади первых двух видов сечений равны нулю. Что касается площади сечения конуса для 3-го вида, то этот вопрос подробнее рассматривается в следующем пункте.

Осевое сечение

Выше отмечалось, что осевым сечением конуса называется фигура, образованная при пересечении конуса плоскостью, проходящей через его ось. Несложно догадаться, что это сечение будет представлять фигуру, показанную на рисунке ниже.

Вычисление площади осевого сечения конуса сводится к нахождению площади полученного треугольника. Если изначально известны радиус основания r и высота h конуса, тогда площадь S рассматриваемого сечения будет равна:

Это выражение является следствием применения стандартной формулы для площади треугольника (половина произведения высоты на основание).

Треугольное сечение образуется тогда, когда секущая плоскость перпендикулярна основанию конуса и проходит через его ось. Любая другая плоскость, параллельная названной, даст в сечении гиперболу. Однако если плоскость содержит вершину конуса и пересекает его основание не через диаметр, то полученное сечение тоже будет равнобедренным треугольником.

Задача на определение линейных параметров конуса

Покажем, как пользоваться записанной для площади осевого сечения формулой для решения геометрической задачи.

Известно, что площадь осевого сечения конуса равна 100 см2. Полученный в сечение треугольник является равносторонним. Чему равны высота конуса и радиус его основания?

Поскольку треугольник равносторонний, то его высота h связана с длиной стороны a следующим соотношением:

Учитывая, что сторона треугольника в два раза больше радиуса основания конуса, и подставляя это выражение в формулу для площади сечения, получаем:

Тогда высота конуса равна:

Остается подставить значение площади из условия задачи и получить ответ:

В каких областях важно знать параметры рассмотренных сечений?

Изучение различных типов сечений конуса представляет не только теоретический интерес, но также имеет практическое приложение.

Во-первых, следует отметить область аэродинамики, где с помощью конических сечений удается создавать идеальные гладкие формы твердых тел.

Во-вторых, конические сечения являются траекториями, по которым движутся космические объекты в гравитационных полях. Какой конкретно вид сечения представляет траектория движения космических тел системы, определяется соотношением их масс, абсолютных скоростей и расстояний между ними.

Источник

Геометрия. 11 класс

Конспект урока

Геометрия, 11 класс

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Коническая поверхность – это поверхность, образованная прямыми, проходящими через все точки окружности, и точку, не лежащую в плоскости этой окружности.

Эти прямые – образующие конической поверхности.

Прямая, проходящая через центр окружности, перпендикулярно к плоскости – ось конической поверхности.

Конус– тело, ограниченное конической поверхностью, точкой и кругом.

Ось конической поверхности называется осью цилиндра.

Расстояние от вершины до основания конуса называется высотой конуса, а радиус основания – радиусом конуса.

Сечение – изображение фигуры, образованной рассечением тела плоскостью.

Осевое сечение – вариант сечения, при котором плоскость проходит через ось тела.

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М. : Просвещение, 2014. – 255, сс. 130-133.

Шарыгин И.Ф. Геометрия. 10–11 кл. : учеб. для общеобразоват. Учреждений – М.: Дрофа, 2009. – 235, : ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 77-79.

Открытые электронные ресурсы:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Основные определения

В плоскости 𝛂 построю окружность L с центром в точке О. Проведу прямую ОР перпендикулярно плоскости 𝛂. Соединю точку Р со всеми точками окружности L прямыми линиями. Поверхность, состоящую из этих прямых, называют конической поверхностью, сами прямые называют образующими конической поверхности, точку Р называют вершиной, а прямую ОР – осью конической поверхности.

Ввожу новые понятия конуса, основания конуса, вершины конуса, образующих конуса, боковой поверхности конуса, оси конуса и высоты конуса.

Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом.

Круг называют основанием конуса.

Вершину конической поверхности называют вершиной конуса.

Отрезки образующих, заключённые между вершиной и основанием называют образующими конуса, а образованная ими часть конической поверхности – боковой поверхностью конуса.

Ось конической поверхности называют и осью конуса, а её отрезок, заключённый между вершиной и основанием называют высотой конуса.

Отмечу, что все образующие конуса равны друг другу. Это легко доказать, если рассмотреть различные прямоугольные треугольники, в которых один катет – это высота конуса, а вторыми катетами являются радиусы основания конуса. Тогда образующие, являясь гипотенузами этих прямоугольных треугольников с равными катетами, также будут равны.

2. Сечения конуса различными плоскостями

Это два основных вида сечения конуса, которые изучаются в средней школе на базовом уровне. Следует упомянуть, что существуют и другие сечения конусов, вид которых зависит от расположения секущей плоскости относительно оси.

3. Основные формулы

Формула для вычисления площади боковой поверхности конуса: S_бок=𝛑RL.

Площадь полной поверхности конуса: S_полн=𝛑R(R+L).

Если взять произвольный конус и провести секущую плоскость перпендикулярно его оси, то исходный конус разделится на две части. Верхняя часть представляет собой конус меньших размеров, а оставшуюся часть называют усечённым конусом.

Основание исходного конуса и круг, получившийся в сечении, называют основаниями усечённого конуса.

Отрезок, соединяющий центры оснований, называют высотой усечённого конуса.

Часть конической поверхности, ограничивающая усечённый конус, называется боковой поверхностью усечённого конуса.

Отрезки образующих, заключённые между основаниями, называются образующими усечённого конуса. Отмечу, что все образующие усечённого конуса равны друг другу.

Тогда эта сторона (вокруг которой происходит вращение) будет совпадать с осью конуса и будет его высотой, другая боковая сторона станет образующей и при вращении будет образовывать боковую поверхность, а основания трапеции станут соответственно радиусами верхнего и нижнего оснований усечённого конуса.

5. Формула для вычисления площадей поверхностей усеченного конуса

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. Найти высоту конуса, если площадь его осевого сечения равна 6, а площадь основания равна 8.

Его высота SO является высотой конуса.

R===OB.

Теперь найдем высоту:

6=SO·OB=SO·.

Отсюда: SO=3

Ответ: 3.

2. Прямоугольная трапеция с основаниями 4 и 7 и меньшей боковой стороной 4 вращается вокруг меньшей стороны. Найдите элементы усеченного конуса.

Радиус меньшего основания

Радиус большего основания

Площадь боковой поверхности конуса

Площадь осевого сечения

Площадь полной поверхности конуса

Трапеция ABCD вращается вокруг стороны AD.

AD – высота усеченного конуса, AD=4.

АВ – радиус меньшего основания, AB=4.

DC – радиус большего основания, DC=7.

Площадь боковой поверхности конуса вычислим по формуле: S_{бок.пов.ук}=π(r+R)L.

Для того чтобы найти площадь боковой поверхности, нужно найти образующую.

Ее найдем из треугольника BHC: BC=5 (это египетский треугольник).

Теперь найдем площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности равна 55π.

Осевое сечение представляет собой равнобедренную трапецию с основаниями 8 и 14 и высотой, равной 4.

Так что площадь этой трапеции равна: S=4(4+7)=44.

Для того чтобы найти площадь полной поверхности, нужно к площади боковой поверхности прибавить площади ее оснований.

Источник

Что представляет собой сечение конуса проведенное плоскостью перпендикулярно оси

Впервые конические сечения описаны Менехмом, который также первым применил их к задаче об удвоении куба. Менехм рассмотрел сечения конуса вращения плоскостью, которая была бы перпендикулярна одной из его образующих (конус вращения – это фигура, образуемая вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов; образующая – это одна из прямых линий, лежащих на поверхности конуса и проходящих через его вершину). Нетрудно видеть, что всякий раз получатся симметричные кривые: если провести плоскость через ось конуса, перпендикулярную секущей плоскости, то она будет плоскостью симметрии и для конуса, и для секущей плоскости, а значит, и для линии, получающейся в сечении. Свойства сечений различны в зависимости от угла при вершине конуса. Так, если угол острый, то в сечении получается эллипс, если прямой – парабола, если тупой – гипербола, но у Менехма еще не было этих терминов: он так и называл обнаруженные кривые «сечением острого (соответственно прямого, тупого) конуса».

Менехм исследовал их свойства, в открытии которых определяющую роль сыграло установление т. н. симптомов – аналогов современных уравнений кривых. Не имея алгебраических обозначений, греки выражали эти свойства на языке «геометрической алгебры», как соотношение определенных отрезков, квадратов и прямоугольников, построенных на соответствующих кривых. Если же мы все-таки переведем симптомы конических сечений на современный алгебраический язык, то они будут эквивалентны следующим уравнениям:

Здесь и – постоянные величины ( сейчас называется параметром сечения, – большой полуосью эллипса или действительной полуосью гиперболы), осями которых являются ось конического сечения и касательная к нему, проходящая через вершину.

Симптомы конических сечений доказываются следующим образом.

Исходя из симптома эллипса, докажите, что он:

Поскольку ≥ 0, у всех точек эллипса

В то же время, поскольку

Нетрудно видеть, что в случае уравнение эллипса переходит в уравнение:

или, что то же, в уравнение:

,

Если провести аналогичную операцию растягивания вдоль оси абсцисс в раз по отношению к гиперболе, то она превратится в равностороннюю гиперболу, отличающуюся тем свойством, что ее асимптоты взаимно перпендикулярны. Ее симптом будет иметь вид:

Для поворота осей координат на 45° используем формулы

Важный вклад в изучение конических сечений внесли Аристей, Евклид, Архимед. Помимо площади эллипса Архимед определил площадь сегмента параболы, а также объемы сегментов тел, полученных вращением конических сечений вокруг их осей симметрии.

Но особенно продвинул теорию конических сечений Аполлоний. Именно он, в частности, первым стал рассматривать вторую ветвь гиперболы.

Источник

• ← Что использовать вместо адобе флеш плеер на виндовс 10
• юго сходит с ума →