что получится если синус угла разделить на его косинус

Основное тригонометрическое тождество

9 класс, 10 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Связь между sin и cos одного угла

Вы уже наверняка знаете, что тождественный — это равный.

Основные тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Это значит, что любую из этих функций можно найти, если известна другая функция.

Ключ к сердцу тригонометрии — основное тригонометрическое тождество. Запомните и полюбите его, чтобы отношения с тригонометрией сложились самым наилучшим образом:

sin 2 α + cos 2 α = 1

Из основного тождества вытекают равенства тангенса и котангенса, поэтому оно — ключевое.

Равенство tg 2 α + 1 = 1/cos 2 α и равенство 1 + сtg 2 α + 1 = 1/sin 2 α выводят из основного тождества, разделив обе части на sin 2 α и cos 2 α.

В результате деления получаем:

Поэтому основному тригонометрическому тождеству уделяется максимум внимания. Но какая же «метрия» может обойтись без доказательств. Видите тождество — доказывайте, не раздумывая.

sin 2 α + cos 2 α = 1

Сумма квадратов синуса и косинуса одного угла тождественно равна единице.

Чтобы доказать тождество, обратимся к теме единичной окружности.

Единичная окружность — это окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Радиус единичной окружности равен единице.

Докажем тождество sin 2 α + cos 2 α = 1

Образовался прямоугольный треугольник OA₁B.

Основное тригонометрическое тождество связывает синус угла и косинус угла. Зная одно, вы легко можете найти другое. Нужно лишь извлечь квадратный корень по формулам:

Как видите, перед корнем может стоять и минус, и плюс. Основное тригонометрическое тождество не дает понять, положительным или отрицательным был исходный синус/косинус угла.

Как правило, в задачках с подобными формулами уже есть условия, которые помогают определиться со знаком. Обычно такое условие — указание на координатную четверть. Таким образом без труда можно определить, какой знак нам требуется.

Тангенс и котангенс через синус и косинус

Из всего этого множества красивых, но не сильно понятных слов, можно сделать вывод о зависимости одного от другого. Такая связь помогает отдельно преобразовывать нужные величины.

Исходя из определений:

Это позволяет сделать вывод, что тригонометрические тождества

задаются sin и cos углов.

Отсюда следует, что тангенс угла — это отношение синуса угла к косинусу. А котангенс угла — это отношение косинуса к синусу.

Отдельно стоит обратить внимание на то, что тригонометрические тождества

верны для всех углов α, значения которых вписываются в диапазон.

применимо для любого угла α, не равного π * z, где z — это любое целое число.

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Связь между тангенсом и котангенсом

Уж насколько очевидной кажется связь между ранее рассмотренными тождествами, настолько еще более наглядна связь между тангенсом и котангенсом одного угла.

Такое тождество применимо и справедливо при любых углах α, значение которых не равняются π/2 * z, где z — это любое целое число. В противном случае, функции не будут определены.

Как и любое другое, данное тригонометрическое тождество подлежит доказательству. Доказывать его очень просто.

tg α * ctg α = 1.

Получается, что тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл — это взаимно обратные числа.

Если числа a и b взаимно обратные — это значит, что число a — это число, обратное числу b, а число b — это число, обратное числу a. Кроме того, это значит, что числу a обратно число b, а числу b обратно число a. Короче, и так, и эдак.

Тангенс и косинус, котангенс и синус

Все тождества выше позволяют сделать вывод, что тангенс угла связан с косинусом угла, а котангенс угла — с синусом.

Эта связь становится очевидна, если взглянуть на тождества:

Сумма квадрата тангенса угла и единицы равна числу, обратному квадрату косинуса этого угла.

Сумма единицы и квадрата котангенса угла равна числу, обратному квадрату синуса этого угла.

Вывести оба этих тождества можно из основного тригонометрического тождества:
sin 2 α + cos 2 α = 1.

Хорошо бы выучить все формулы и запомнить формулировки тождеств наизусть. Чтобы это сделать, сохраняйте себе табличку с основными формулами.

Основные тригонометрические тождества

sin 2 α + cos 2 α = 1

tg 2 α + 1 =

1 + ctg 2 α =

Чтобы тратить еще меньше времени на решение задач, сохраняйте таблицу значений тригонометрических функции углов, которые чаще всего встречаются в задачах.

Примеры решения задач

Разберем пару задачек, для решения которых нужно знать основные тождества. Рассмотрите внимательно предложенные решения и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Найдите cos α, tg α, ctg α при условии, что sin α = 12/13.

Задачка 2. Найдите значение cos α,
если:

Подставляем значения sin α:

Как видите, задачи решаются достаточно просто, нужно лишь верно применять формулы основных тождеств.

Источник

Сумма и разность синусов и косинусов: вывод формул, примеры

Формулы суммы и разности синусов и косинусов

Запишем, как выглядят формулы суммы и разности для синусов и для косинусов

Формулы суммы и разности для синусов

Определения формул сумм и разности синусов и косинусов

Сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус полуразности.

Разность синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полуразности этих углов на косинус полусуммы.

Сумма косинусов двух углов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы и косинуса полуразности этих углов.

Разность косинусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы на косинус полуразности этих углов, взятому с отрицательным знаком.

Вывод формул суммы и разности синусов и косинусов

Для вывода формул суммы и разности синуса и косинуса двух углов используются формулы сложения. Приведем их ниже

Также представим сами углы в виде суммы полусумм и полуразностей.

Переходим непосредственно к выводу формул суммы и разности для sin и cos.

Вывод формулы суммы синусов

В сумме sin α + sin β заменим α и β на выражения для этих углов, приведенные выше. Получим

Действия по выводу остальных формул аналогичны.

Вывод формулы разности синусов

Вывод формулы суммы косинусов

Вывод формулы разности косинусов

Примеры решения практических задач

Пример 1. Проверка формулы суммы синусов двух углов

Пример 2. Применение формулы разности синусов

С помощью формул суммы и разности синусов и косинусов можно перейти от суммы или разности к произведению тригонометрических функций. Часто эти формулы называют формулами перехода от суммы к произведению. Формулы суммы и разности синусов и косинусов широко используются при решении тригонометрических уравнений и при преобразовании тригонометрических выражений.

Источник

Теорема косинусов и синусов

Формулировка и доказательство теоремы косинусов

Для начала вспомним теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Формула Теоремы Пифагора:

a 2 > + b 2 > = c 2 >, где a, b — катеты, с — гипотенуза.

Теорема косинусов звучит так: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Формула теоремы косинусов:

В доказательстве теоремы косинусов используем формулу длины отрезка в координатах. Рассмотрим данную формулу:

В доказательстве теоремы косинусов BC — это сторона треугольника АВС, которая обозначена буквой а. Введем удобную систему координат и найдем координаты нужных нам точек. У точки В координаты (с; 0).
Координаты точки С — (b cos α; b sin α) при α ∈ (0° ; 180°).

cos 2 α + sin 2 α = 1 — основное тригонометрическое тождество.

Что и требовалось доказать.

Совет: чтобы быстрее разобраться в сложной теме, запишитесь на онлайн-курсы по математике для детей и подростков.

С помощью теоремы косинусов можно найти косинус угла треугольника:

Сформулируем еще одно доказательство теоремы косинусов.

Пусть нам дан треугольник ABC, в котором из вершины C на сторону AB опустили высоту CD. Это значит:

Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:

Приравниваем правые части уравнений:

Если один из углов при основании тупой (высота упирается в продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному выше.

Определим стороны b и c:

Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника

Теорема косинусов справедлива для всех сторон треугольника, то есть:

Теорема косинусов может быть использована для любого вида треугольника.

Косинусы углов треугольника

Теорема косинусов позволяет найти как косинус, так и угол треугольника. Найдём косинусы углов:

Определение угла с помощью косинуса

А теперь обратим внимание на углы.

Как мы уже знаем, косинус угла из промежутка (0°; 180°) определяет угол (в отличие от его синуса).

Пусть нам дана единичная полуокружность. Если нам задан cos α, то нам задана точка на верхней полуокружности и задан угол α. Следовательно, cos α однозначно определяет точку М(cos α; sin α), и однозначно определяется угол ∠AOM.

Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α

Рассмотрим пределы изменения синуса и косинуса α. Вспомним, что если α — угол треугольника, то он лежит в пределах от 0° до 180°.

Примеры решения задач

При помощи теоремы косинусов можно решать задачки по геометрии. Рассмотрим интересные случаи.

Пример 1. Дан треугольник АВС. Найти длину СМ.

∠C = 90°, АВ = 9, ВС = 3, AM/MB = 1/2, где М — точка на гипотенузе АВ.

Источник

Алгебра

Лучшие условия по продуктам Тинькофф по этой ссылке

Дарим 500 ₽ на баланс сим-карты и 1000 ₽ при сохранении номера

. 500 руб. на счет при заказе сим-карты по этой ссылке

Лучшие условия по продуктам
ТИНЬКОФФ по данной ссылке

План урока:

Основное тригонометрическое тождество

Несложно догадаться, что синус и косинус угла – это величины, связанные друг с другом. Отложим на единичной окружности произвольный угол α и опустим из точки А перпендикуляр на ось Ох, в некоторую точку В:

Изучим треугольник АОВ. Он прямоугольный, а потому для него можно записать теорему Пифагора:

Мы рассматриваем единичную окружность, а потому ОА = 1, ОВ = соsα, AB = sinα. Подставив эти величины в равенство, получим тождество:

sin 2 α + соs 2 α = 1

Его называют основным тригонометрическим тождеством, ведь именно оно связывает значение двух прямых тригонометрических ф-ций – синуса и косинуса.

Задание. В прямоугольном треугольнике есть угол α. Известно, что sin α = 0,8. Чему равен соsα?

Решение. Подставим в основное тригон-кое тождество значение sinα = 0,8 и получим уравнение:

sin 2 α + соs 2 α = 1

соsα = – 0,6 или соsα = 0,6

Нашли два возможных значения косинуса. Но по условию α – это острый угол, ведь в прямоугольном треугольнике угол не может быть больше 90°. То есть угол α относится к первой четверти, а потому его косинус положителен. Значит, соsα = 0,6.

Рассмотренный пример показал, что одному заданному значению синуса соответствует сразу два противоположных друг другу значения косинуса. Верно и обратное. Действительно, отложим по оси Ох некоторую величину соsα и проведем вертикальную линию, чтобы найти соответствующие ему значения синуса. Она пересечет единичную окружность в двух точках с противоположными ординатами:

По этой причине при решении задач на использование основного тригон-кого тождества обычно указывают, к какой четверти относится угол α.

Задание. Вычислите sinα, если соsα = 0,28 и α принадлежит IV четверти.

sin 2 α + соs 2 α = 1

sin α = –0,96 или sin α = 0,96

Так как α принадлежит IV четверти, то sinα должен быть отрицательным, поэтому sinα = – 0,96.Напомним, что в IV четверти значение косинуса положительно, ведь соответствующая ей дуга единичной окружности располагается правее оси Оу, то есть абсциссы точек, принадлежащих ей, положительны.

Задание. Найдите tgα, если sinα = 5/13 и π/2 2 α + соs 2 α = 1

соs 2 α = 1 – sin 2 α = 1 – (5/13) 2 = 169/169 – 25/169 = 144/169

соsα = – 12/13 или соsα = 12/13

Условие π/2 2 α + соs 2 α = 1

Далее поделим его на величину соs 2 α:

Крайнее левое слагаемое – это величина tg 2 α, а следующая дробь равна единице, так как у неё совпадают числитель и знаменатель:

В итоге нам удалось получить ф-лу, которая связывает значение тангенса и косинуса угла. Есть такая формула и для котангенса. Для ее получения необходимо поделить основное тригон-кое тождество на sin 2 α:

Задание. Известно, что tgα = 0,75. Найдите соsα и sinα, если угол α принадлежит III четверти.

Просто подставляем в ф-лу известное значение тангенса и решаем получившееся уравнение. Для простоты вычислении заменим десятичную дробь 0,75 на обычную 3/4:

Так как угол относится к III четверти, где косинус отрицателен, то

Синус угла найдем, используя основное тригон-кое тождество:

sin 2 α + соs 2 α = 1

sin 2 α = 1 – соs 2 α = 1 – (– 0,8) 2 = 1 – 0,64 = 0,36

sinα = – 0,6 или sinα = 0,6

С учетом того, что в III четверти синус становится отрицательным, следует выбрать вариант sinα = – 0,6

Ответ: sinα = – 0,6; соsα = – 0,8.

Иногда ф-лы используют не для вычисления значений тригон-ких выражений, а для упрощения выражений. Из тождества sin 2 α + соs 2 α = 1 несложно получить из выражения

sin 2 α = 1 – соs 2 α

соs 2 α = 1 – sin 2 α

которые помогают в работе с длинными ф-лами.

Задание. Упростите выражение

4sin 2 α + 9соs 2 α – 6

таким образом, чтобы в нем не содержалось синуса.

Решение. Произведем замену sin 2 α = 1 – соs 2 α:

4sin 2 α+ 9соs 2 α – 6 = 4(1 – соs 2 α)+ 9соs 2 α – 6 =

= 4 – 4 соs 2 α + 9соs 2 α – 6 = 5соs 2 α – 2

Видим, что получилось значительно более простое выражение.

Задание. Избавьтесь от синуса в выражении

sin 4 α – соs 4 α

Решение. Воспользуемся ф-лой разности квадратов:

sin 4 α – соs 4 α = (sin 2 α – соs 2 α)(sin 2 α + соs 2 α) = (sin 2 α – соs 2 α)•1 =

= 1 – соs 2 α– соs 2 α = 1 – 2 соs 2 α

Задание. Упростите дробь

Тригонометрические функции суммы и разности

Легко проводить вычисления, когда все тригонометрические действия выполняются над одним углом α. Однако иногда в задачах добавляется ещё один угол, который обычно обозначают как β. Существуют ф-лы, с помощью которых можно вычислять тригон-кие ф-ции от суммы и разности углов α и β.

Вывод этих ф-л достаточно сложен, поэтому сначала мы просто без доказательства приведем две из них, позволяющие вычислять синус суммы и косинус суммы:

Достаточно запомнить их, а далее следующие формулы можно выводить из них. Так, если вместо β подставить угол (–β), то получим формулы для разности. При этом мы используем тот факт, что синус – нечетная ф-ция, то естьsin (– β) = – sinβ, а косинус – четная ф-ция, то есть соs (– β) = соsβ:

Теперь поступим также с ф-лой для косинуса разности:

Итак, нам удалось получить ф-лы для нахождения синуса и косинуса суммы и разности углов.

С помощью этих формул возможно вычислить значение тригон-ких ф-ций для некоторых нестандартных углов. (Стандартными считаются углы в 0°, 30°, 45°, 60° и 90°, ведь для них значение тригон-ких ф-ций можно узнать из таблички.)

Задание. Вычислите соs 150°.

Решение. В табличке стандартных углов есть углы, равные 90° и 60°. Их сумма как раз равна 150°. Поэтому запишем:

Задание. Вычислите синус, косинус и тангенс для угла 15°.

Решение. Угол в 15° можно представить как разность 45° – 30°. Тогда синус будет вычисляться так:

Далее вычислим косинус:

Можно выполнить проверку. Полученные значения должны удовлетворять основному тригон-кому тождеству. И действительно:

Проверка пройдена: сумма квадратов синуса и косинуса оказалась равной единице. Теперь посчитаем tg 15°, используя определение тангенса:

Задание. Вычислите значение тригонометрического выражения

sinπ/7 соsπ/42 + sinπ/42 соsπ/7

Решение: Значение тригон-ких ф-ций для углов π/7 и π/42 мы не знаем, однако это не помешает вычислениям. Можно заметить, что исходное выражение представляет собой синус суммы π/7 и π/42:

sinπ/7 соsπ/42 + sinπ/42 соsπ/7 = sin (π/7 + π/42) = sinπ/6 = 1/2

Задание. Упростите выражение

Вынесем за скобки множитель 2:

Теперь произведем замену:

C учетом этого можно переписать выражение и использовать ф-лу суммы косинусов:

Формулы двойного угла

Что будет, если формулу синуса суммы подставить не два различных угла α и β, а два одинаковых угла α и α? Получится ф-ла для синуса двойного угла:

Аналогично можно составить ф-лу и для косинуса двойного угла:

Итак, справедливы следующие ф-лы:

Задание. Вычислите sin 120° и соs 120°.

Задание. Упростите выражение

соs 2 t – соs 2t = соs 2 t – (соs 2 t – sin 2 t) = соs 2 t – соs 2 t + sin 2 t = sin 2 t

Задание. Докажите, что функция

является периодической и имеет период, равный π.

Решение. Используем ф-лу квадрата суммы:

Таким образом, исходную ф-цию можно переписать в виде

По определению, ф-ция является периодической с периодом Т, если выполняется условие у(х + Т) = у(х). Поэтому подставим в нашу ф-цию величину х + π:

Получили, что у(х + π) = y(x), то есть ф-ция имеет период, равный π.

Задание. Выведите формулы синуса и косинуса тройного угла.

Решение. Для их получения следует использовать ф-лу синуса суммы углов, в которую подставляют вместо β величину 2α:

Аналогично можно получить и ф-лу для косинуса тройного угла:

Формулы понижения степени

Если нам необходимо узнать косинус угла, который вдвое больше табличного, мы используем ф-лу:

соs 2α = соs 2 α – sin 2 α

А что делать, если нам надо вычислить косинус угла, который вдвое меньше известного? Попробуем преобразовать ф-лу косинуса двойного угла:

В результате нам удалось получить тождество, позволяющее по косинусу удвоенного угла найти косинус самого угла! Однако значительно чаще в тригонометрии это равенство записывают в обратном порядке:

и называют ф-лой понижения степени. Действительно, в левой части стоит косинус в квадрате, а справа – косинус без квадрата, но вычисляется он от угла 2α, а не α.

Попробуем получить аналогичную ф-лу и для синуса. Для этого используем основное тригон-кое тождество:

С помощью этих ф-л можно вычислять тригон-кие ф-ции для некоторых малых углов. Так, ранее мы с использованием ф-лу разности синусов определили, что

При этом мы представляли угол 15° как разность 45° – 30°. Но как посчитать соs 7,5°? Этот угол невозможно представить как разницу или сумму известных нам табличных углов (0°, 30°; 45°; 60° и 90°). Однако поможет ф-ла понижения степени. Действительно, ведь 2•7,5° = 15°. Тогда можно записать:

Мы нашли соs 2 7,5°. Чтобы узнать соs 7,5°, необходимо извлечь квадратный корень:

Так как угол 7,5° принадлежит I четверти, то его косинус должен быть положительным, поэтому можно записать:

Видно, что получается довольно громоздкое выражение. Используя ф-лу понижения степени, можно найти косинус и угла, который ещё вдвое меньше, то есть равен 3,75°, но в результате получится ещё более громоздкое выражение.

Задание. Вычислите sinπ/8.

Решение. Угол π/4 является табличным (его градусная мера составляет 45°). Поэтому можно записать:

Эти примеры показывают, что тригон-кие ф-ции многих нестандартных углов можно выразить, используя квадратные корни. Возникает вопрос – а любую ли тригонометрическую ф-цию можно выразить таким способом? Оказывается, что нет. Например, sin 10° невозможно найти ни в одной, даже самой подробной тригонометрической таблице. Мы не будем это доказывать, но эту величину невозможно представить в виде выражения, используя арифметические операции и корни. Однако существуют приближенные методы, позволяющие с любой наперед заданной точностью вычислять значение тригонометрических ф-ций.

Формулы приведения

Возможно, вы уже заметили, что синусы и косинусы принимают одинаковые значения в углах, чья сумма равна 90°. Например, sin30° = соs60° = 1/2, и при этом 30° + 60° = 90°. Также мы знаем, что sin 45° = соs 45° (45° + 45° = 90°) и sin60° = соs30° (60° + 30°). В чем причина такой закономерности и справедлива ли она для нестандартных углов?

Используя ф-лу синуса разности, мы можем записать, что

Полученная ф-ла sin (90° – α) = соsα называется формулой приведения. При ее выводе мы использовали тот факт, что sin 90° = 1, а соs 90° = 0, поэтому формула получилась очень простой. Однако синусы и косинусы других углов, кратных 90° (или кратных π/2, если измерять углы в радианах), также равны 0, 1 или – 1, поэтому для них тоже можно получить подобные простые ф-лы, например:

Похожих ф-л можно написать несколько десятков! Все их запоминать не надо, так как существует особое мнемоническое правило, позволяющее записать необходимую ф-лу.

Пусть есть некоторое тригон-кое выражение вида

где f – тригонометрическая ф-ция (sin; соs; tg; ctg)

k– угол, кратный π/2 (π/2, π, 3π/2, 2π)

Мы хотим заменить ее другой ф-цией, только от угла α. На первом шаге мы смотрим на слагаемое k. Если оно кратно π (– π, π, 2π), то ф-ция f остается неизменной. Если же слагаемое k – это число π/2 или 3π/2, то ф-цию f надо поменять на так называемую кофункцию (синус меняем на косинус, тангенс на котангенс и наоборот).

Далее надо определить знак, стоящий перед новой ф-цией. Для этого мы предполагаем, что α – это острый угол, то есть он принадлежит I четверти. Далее с учетом этого предположения смотрим, в какую четверть попадает угол k ± α, и какое значение принимает там исходная тригонометрическая ф-ция. Если она отрицательна, то перед новой тригонометрической ф-цией надо поставить минус. В противном случае ничего ставить не надо.

Лучше всего изучить это алгоритм на примерах.

Задание. Упростите выражение соs (π/2 + α).

Решение. Первый шаг – смотрим на слагаемое под знаком косинуса. Это число π/2. Оно НЕ кратно π, а потому мы должны поменять косинус на синус:

Второй шаг – надо определить, надо ли ставить минус перед синусом. Если α – это острый угол, то угол (π/2 + α) попадет во II четверть:

Во второй четверти косинус отрицателен, а потому перед синусом следует поставить минус:

Важное примечание. В этом примере для составления формулы приведения мы «предположили», что угол α является острым. В результате нам удалось получить формулу соs (π/2 + α) = – sinα. Однако отметим, что полученная нами формула выполняется для абсолютно любых значений угла α, а не только для 0° 1 2 + 3 соs2x

Источник